定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的任意函数 $f(x)$ 都可以表示成一个奇函数 $g(x)$ 和一个偶函数 $h(x)$ 之和, 如果 $f(x)=\lg \left(10^x+1\right), x \in(-\infty,+\infty)$, 那么
A. $g(x)=x, \quad h(x)=\lg \left(10^x+10^{-x}+2\right)$
B. $g(x)=\frac{1}{2}\left[\lg \left(10^x+1\right)+x\right], \quad h(x)=\frac{1}{2}\left[\lg \left(10^x+1\right)-x\right]$
C. $g(x)=\frac{x}{2}, h(x)=\lg \left(10^x+1\right)-\frac{x}{2}$
D. $g(x)=-\frac{x}{2}, h(x)=\lg \left(10^x+1\right)+\frac{x}{2}$