单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
考虑二元函数的下面 4 条性质:
(1) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，
(2) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的两个偏导数连续，
(3) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，
(4) $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处两个偏导数存在.
若用 " $P \Rightarrow Q$ " 表示可由性质 $P$ 推出 $Q$ ，则有
$\text{A.}$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (1)
$\text{B.}$ (3) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (1)
$\text{C.}$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1)
$\text{D.}$ (3) $\Rightarrow$ (1) $\Rightarrow$ (4)
设 $u_n \neq 0(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n}{u_n}=1$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_n}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件发散
$\text{D.}$ 收敛性根据所给条件不能确定
设函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有界且可导，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)$ 存在时，必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f^{\prime}(x)=0$
设有三张不同平面的方程
$$
a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=b_i, i=1,2,3 ，
$$
它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为 2 ，则这三张平面可能的位置关系为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
设 $X_1$ 和 $X_2$ 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ ，分布函数分别为 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ ，则
$\text{A.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度
$\text{B.}$ $f_1(x) f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度
$\text{C.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
$\text{D.}$ $F_1(x) F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^2 x}=$
已知函数 $y=y(x)$ 是由方程 $e^y+6 x y+x^2-1=0$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
微分方程 $y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ， $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ 的特解是
已知实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1{ }^2+x_2{ }^2+x_3{ }^2\right)$ $+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 经正交变换 $x=P y$ 可化成标准形 $f=6 y_1^2$ ，则 $a=$
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，且二次方程 $y^2+4 y+X=0$ 无实根的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $\mu=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某领域内具有一阶连续导数，且 $f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，若 $a f(h)+b f(2 h)-f(0)$ 在 $h \rightarrow 0$时是比 $h$ 高阶的无穷小，试确定 $a, b$ 的值.
已知两曲线 $y=f(x)$ 与 $y=\int_0^{\arctan x} e^{-t^2} \mathrm{dt}$ 在点 $(0,0)$处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{2}{n}\right)$.
计算二重积分 $\iint_D e^{\max \left\{x^2, y^2\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}
$$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数， $L$ 是上半平面 $(y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $(a, b)$ ，终点为 $(c, d)$ ，记
$$
I=\int_L \frac{1}{y}\left[1+y^2 f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^2}\left[y^2 f(x y)-1\right] \mathrm{d} y .
$$
（1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关；
（2）当 $a b=c d$ 时，求 $I$ 的值.
(1) 验证函数 $y(x)=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{x^{3 n}}{(3 n)!}+\cdots$ $(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=e^x$ ；
(2) 利用(1)的结果求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{(3 n)!}$ 的和函数.
设有一小山，取它的底面所在的平面为 $x O y$ 坐标面，其底部所占的区域为 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2-x y \leq 75\right\}$ ，小山的高度函数为 $h(x, y)=75-x^2-y^2+x y$.
(1) 设 $M\left(x_0, y_0\right)$ 为区域 $D$ 上一点，问 $h(x, y)$ 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为 $g\left(x_0, y_0\right)$ ，试写出 $g\left(x_0, y_0\right)$ 的表达式.
(2) 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 $D$ 的边界线 $x^2+y^2-x y=75$ 上找出使(1)中的 $g(x, y)$ 达到最大值的点. 试确定攀登起点的位置.
已知 4 阶方阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2 \alpha_3, \alpha_4\right) ， \alpha_1, \alpha_2 \alpha_3, \alpha_4$ 均为 4 维列向量，其中 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性无关， $\alpha_1=2 \alpha_2-\alpha_3$ ，如果 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4$ ，求线性方程组 $A x=\beta$ 的通解.
设 $A, B$ 为同阶矩阵，
(1) 如果 $A, B$ 相似，试证 $A, B$ 的特征多项式相等;
(2) 举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立;
(3) 当 $A, B$ 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq \pi \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
对 $X$ 独立地重复观察 4 次，用 $Y$ 表示观察值大于 $\frac{\pi}{3}$ 的次数，求 $Y^2$ 的数学期望.
设总体 $X$ 的概率分布为:
中 $\theta\left(0 < \theta < \frac{1}{2}\right)$ 是未知参数，利用总体 $X$ 的如下样本值 $3,1,3,0,3,1,2,3$ ，求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值