单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设对任意的 $x$ ，总有 $\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$ ， 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}[g(x)-\varphi(x)]=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不一定为零
$\text{C.}$ 一定不存在
$\text{D.}$ 不一定存在
设函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分条件是
$\text{A.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a)=0$
$\text{B.}$ $f(a)=0$ 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$
$\text{C.}$ $f(a)>0$ 且 $f^{\prime}(a)>0$
$\text{D.}$ $f(a) < 0$ 且 $f^{\prime}(a) < 0$
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是四元非齐次线形方程组 $A X=b$ 的三个解向量，且秩 $(A)=3$ ，
$$
\alpha_1=(1,2,3,4)^T, \alpha_2+\alpha_3=(0,1,2,3)^T \text {, }
$$
$c$ 表示任意常数，则线形方程组 $\boldsymbol{A} X=b$ 的通解 $\boldsymbol{X}=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5 \\ 6\end{array}\right)$
设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵， $A^T$ 是 $A$ 的转置矩阵，则对于线性方程组 $(I): A x=0$ 和 $(I I): x^T A x=0$ ，必有
$\text{A.}$ $(I I)$ 的解都是 $(I)$ 的解， $(I)$ 的解也是 $(I I)$
$\text{B.}$ $(I I)$ 的解都是 $(I)$ 的解，但 $(I)$ 解不是 $(I I)$ 的解
$\text{C.}$ $(I)$ 解不是 $(I I)$ 的解， $(I I)$ 的解也不是 $(I)$ 的解
$\text{D.}$ $(I)$ 解是 $(I I)$ 的解，但 $(I I)$ 的解不是 $(I)$ 的解
设 $A, B, C$ 三个事件两两独立，则 $A, B, C$ 相互独立的充分必要条件是 $X=$
$\text{A.}$ $A$ 与 $B C$ 独立
$\text{B.}$ $A B$ 与 $A \cup C$ 独立
$\text{C.}$ $A B$ 与 $A C$ 独立
$\text{D.}$ $A \cup B$ 与 $A \cup C$ 独立
在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的. 在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 $t_0$ ，电炉就断电. 以 $E$ 表示事件“电炉断电”，设
$$
T_{(1)} \leq T_{(2)} \leq T_{(3)} \leq T_{(4)}
$$
为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 $E$ 等于事件
$\text{A.}$ $\left\{T_{(1)} \geq t_0\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{T_{(2)} \geq t_0\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{T_{(3)} \geq t_0\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{T_{(4)} \geq t_0\right\}$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $a>0, b>0$ 均为常数，则 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{3}{x}}=$
$\int \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$
设 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{e^x+e^{2-x}}=$
设 $z=f\left(x y, \frac{x}{y}\right)+g\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f, g$ 均可微，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
已知四阶矩阵 $A$ 相似于 $B: A$ 的特征值 $2,3,4,5 . E$ 为四阶单位矩阵，则 $|B-\boldsymbol{E}|=$
已知四阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，矩阵为 $A$ 的特征值 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ，则行列式 $\left|B^{-1}-E\right|=$
设 $a=(1,0,-1)^T$ ，矩阵 $A=\alpha \alpha^T, n$ 为正整数，则 $\left|a E-A^n\right|=$
设随机变量$X$的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1 / 3, x \in[0,1] \\
2 / 9, x \in[3,6] ， \\
0, \quad \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
若$k$ 使得 $P\{X \geq k\}=\frac{2}{3}$ ，则 $k$ 的取值范围是
假设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 在区间 $[-1,2]$ 上服从均匀分布，随机变量 $Y=\left\{\begin{array}{ll}1, & X>0 \\ 0, & X=0 \\ -1, & X < 0\end{array}\right.$, 则方差 $D Y=$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $y=(x-1) e^{\frac{\pi}{2}+\arctan x}$ 的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.
计算 $I=\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{e^{1+x}+e^{3-x}}$
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且
$$
\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0 .
$$
试证: 在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使
$$
f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0 .
$$
求 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-e^{2 x}=0$ 满足 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ 的解.
设 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^n x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\sum_{n=0}^{\infty} I_n$.
已知 $z=u^v, u=\ln \sqrt{x^2+y^2}, v=\arctan \frac{y}{x}$ ，求 $\mathrm{d} z$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}x^2 y, 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq x \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，求 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geq 2 x\right\}$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{4 a^2-x^2-y^2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=-a+\sqrt{a^2-x^2}(a>0)$ 和直线 $y=-x$ 围成区域.
假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是
$$
p_1=18-2 Q_1, p_3=12-Q_2 \text { ， }
$$
其中 $p_1, p_2$ 分别表示该产品在两个市场的价格 (单位: 万元顿)， $Q_1$ 和 $Q_2$ 分别表示该产品在两个市场的销售量 (即需求量，单位：顿），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 $C=2 Q+5$ ，其中 $Q$ 表示该产品在两个市场的销售总量，即
$$
Q=Q_1+Q_2
$$
(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润;
(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.
设向量组 $\alpha_1=(a, 2,10)^T, \alpha_2=(-2,1,5)^T, \alpha_3=(-1$, $1,4)^T, \beta=(1, b, c)^T$ ，试问: 当 $a, b, c$ 满足什么条件时:
（1） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，且表示唯一?
（2） $\beta$ 不可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出?
（3） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表出，但表示不唯一? 并求出一般表达式.
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ x & 4 & y \\ -3 & -3 & 5\end{array}\right)$, 已知 $A$ 有三个线性无关的特征向量， $\lambda=2$ 是 $A$ 的二重特征值，试求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角形矩阵。
设有 $n$ 元实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\left(x_1+a_1 x_2\right)^2$
$$
+\left(x_2+a_2 x_3\right)^2+\cdots+\left(x_{n-1}+a_{n-1} x_n\right)^2+\left(x_n+a_n x_1\right)^2
$$
其中 $a_i(i=1,2, \cdots, n)$ 为实数，试问: 当 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 满足何种条件时，二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 为正定二次型.
假设 $0.50,1.25,0.80,2.00$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本值. 已知 $Y=\ln X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$.
(1) 求 $X$ 的数学期望值 $E(X)$ （记 $E(X)$ 为 $b$ ）；
(2) 求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间；
(3) 利用上述结果求 $b$ 的置信度为 0.95 的置信区间.
设 $A, B$ 是二随机事件，随机变量
试证明随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 不相关的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$ 和 $B$ 相互独立.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]
$$
其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ ，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1 .
(1) 求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 及 $X$ 和 $Y$的相关系数 $\rho$ (可直接利用二维正态密度的性质)
(2) 问 $X$ 和 $Y$ 是否独立? 为什么?