单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\frac{x}{a+e^{b x}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0$ ，则常数 $a, b$ 满足
$\text{A.}$ $a < 0, b < 0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a \leq 0, b>0$
$\text{D.}$ $a \geq 0, b < 0$
设函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x$ ，且 $f^{\prime}(0)=0$ ，则
$\text{A.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值
$\text{B.}$ $f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值
$\text{C.}$ 点 $(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
$\text{D.}$ $f(0)$ 不是 $f(x)$ 的极值，点 $(0, f(0))$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点
设 $f(x), g(x)$ 是恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0 ，$ 则当 $a < x < b$ 时，有
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^3}=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^2}$ 为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 36
$\text{D.}$ $\infty$
具有特解 $y_1=e^{-x}, y_2=2 x e^{-x}, y_3=3 e^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\arctan x-x}{\ln \left(1+2 x^3\right)}=$
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $2^{x y}=x+y$ 所确定，则 $\left.\mathrm{d} y\right|_{x=0}=$
$\int_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x+7) \sqrt{x-2}}=$
曲线 $y=(2 x-1) e^{\bar{x}}$ 的斜渐进线方程为
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 7\end{array}\right), E$ 为 4 阶单位矩阵，且 $B=(E+A)^{-1}(E-A)$, 则 $(E+B)^{-1}=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}$ ，计算 $\int f(x) \mathrm{d} x$.
设 $x O y$ 平面上有正方形 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$ 及直线 $l: x+y=t(t \geq 0)$ ，若 $S(t)$ 表示正方形 $D$ 位于直线
求函数 $f(x)=x^2 \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)(n \geq 3)$.
设函数 $S(x)=\int_0^x|\cos t| \mathrm{d} t$ :
(1) 当$n$为正整数，且$n \pi \leq x < (n+1) \pi$ 时，证明
$$
2 n \leq S(x) < 2(n+1) ;
$$
(2) 求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{x}$.
某湖泊的水量为 $V$ ，每年排入湖泊内含污染物 $A$ 的污水量为 $\frac{V}{6}$ ，流入湖泊内不含 $A$ 的水量为 $\frac{V}{6}$ ，流出湖泊的水量为 $\frac{V}{3}$.已知 1999 年年底湖中 $A$ 的含量为 $5 m_0$ ，超过国家规定指标，为了治理污水，从 2000 年年初起，限定排入湖泊中含 $A$ 污水的浓度不超过 $\frac{m_0}{V}$. 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 $A$ 的含量将至 $m_0$ 以内? (注: 设湖水中 $A$ 的浓度是均匀的.)
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且
$$
\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0 .
$$
试证: 在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使
$$
f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0 .
$$
已知 $f(x)$ 是周期为 5 的连续函数， 它在 $x=0$ 的某个邻域内满足关系式
$$
f(1+\sin x)-3 f(1-\sin x)=8 x+\alpha(x)
$$
其中 $\alpha(x)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x$ 高阶的无穷小，且 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(6, f(6))$ 处的切线方程。
设曲线 $y=a x^2(a>0, x \geq 0)$ 与 $y=1-x^2$ 交于点 $A$ ，过坐标原点 $O$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=a x^2$ 围成一平面图形，问 $a$ 为何值时，该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积最大?
函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty]$ 上可导， $f(0)=1$ ，且满足等式
$$
f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{x+1} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=0
$$
(1) 求导数 $f^{\prime}(x)$ ；
(2) 证明：当 $x \geq 0$ 时，不等式 $e^{-x} \leq f(x) \leq 1$ 成立.
设 $\alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ \frac{1}{2} \\ 0\end{array}\right), \gamma=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 8\end{array}\right), A=\alpha \beta^T, B=\beta^T \alpha$ ，
其中 $\beta^T$ 是 $\beta$ 的转置，求解方程 $2 B^2 A^2 x=A^4 x+B^4 x+\gamma$.
已知向量组 $\beta_1=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \beta_3=\left(\begin{array}{l}b \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 与向量组 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}9 \\ 6 \\ -7\end{array}\right)$ 具有相同的秩，且 $\beta_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，求 $a, b$ 的值.