单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设当 $x \rightarrow 0$ 时， $e^x-\left(a x^2+b x+1\right)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{2}, b=1$
$\text{B.}$ $a=1, b=1$
$\text{C.}$ $a=-\frac{1}{2}, b=1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\delta, \delta)$ 内有定义，若当 $x \in(-\delta, \delta)$ 时，恒有 $|f(x)| \leq x^2$ ，则 $x=0$ 必是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 间断点
$\text{B.}$ 连续而不可导的点
$\text{C.}$ 可导的点，且 $f^{\prime}(0)=0$
$\text{D.}$ 可导的点，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$
设 $f(x)$ 处处可导，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=-\infty$
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f^{\prime}(x)=-\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=+\infty$
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ 时，必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$
在区间 $(-\infty, \infty)$ 内，方程 $|x|^{\frac{1}{4}}+|x|^{\frac{1}{2}}-\cos x=0$
$\text{A.}$ 无实根
$\text{B.}$ 有且仅有一个实根
$\text{C.}$ 有且仅有二个实根
$\text{D.}$ 有无穷多个实根
设 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $g(x) < f(x) < m$ ( $m$ 为 常 数 )，则曲 线 $y=g(x), y=f(x), x=a$ 及 $x=b(a < b)$ 所围成图形绕直线 $y=m$ 旋转而成的旋转体体积为
$\text{A.}$ $\int_a^b \pi[2 m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_a^b \pi[2 m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_a^b \pi[m-f(x)+g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_a^b \pi[m-f(x)-g(x)][f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\left(x+e^{-\frac{x}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}$ ，则 $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=$
$\int_{-1}^1\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)^2 \mathrm{~d} x=$
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0$ 的通解为
$\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[\sin \ln \left(1+\frac{3}{x}\right)-\sin \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]=$
由曲线 $y=x+\frac{1}{x}, x=2$ 及 $y=2$ 所围图形的面积 $S=$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\int_0^{\ln 2} \sqrt{1-e^{-2 x}} \mathrm{~d} x$.
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sin x}$.
设 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\int_0^t f\left(u^2\right) \mathrm{d} u \\ y=\left[f\left(t^2\right)\right]^2\end{array}\right.$ 确定，其中 $f(u)$ 具有二阶导数，且 $f(u) \neq 0$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$.
求函数 $f(x)=\frac{1-x}{1+x}$ 在 $x=0$ 点处带拉格朗日型余项的 $n$ 阶泰勒展开式.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}=x^2$ 的通解.
设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 $2 a 、 2 b$ ，用过此柱体底面的短轴与底面成 $\alpha$ 角 $\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$ 的平面截此柱体，得一楔形体(如图)，求此楔形体的体积 $\boldsymbol{V}$.
计算不定积分 $\int \frac{\arctan x}{x^2\left(1+x^2\right)} \mathrm{d} x$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-2 x^2, x < -1 \\ x^3,-1 \leq x \leq 2 \\ 12 x-16, x>2\end{array}\right.$ :
(1) 写出 $f(x)$ 的反函数 $g(x)$ 的表达式；
(2) 问 $g(x)$ 是否有间断点与不可导点，若有，指出这些点.
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $2 y^3-2 y^2+2 x y-x^2=1$ 所确定，试求 $y=y(x)$ 的驻点，并判别它是否为极值点.
设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上具有二阶导数， $f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) f^{\prime}(b)>0$ ，证明存在 $\xi \in(a, b)$ 和 $\eta \in(a, b)$ ，使 $f(\xi)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(\eta)=0$.
设 $f(x)$ 为连续函数.
(1) 求初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}+a y=f(x) \\ \left.y\right|_{x=0}=0\end{array}\right.$ 的解 $y=y(x)$ ，其中 $a$ 是正常数；
(2) 若 $|f(x)| \leq k(k$ 为常数)，证明：当 $x \geq 0$ 时，有
$$
|y(x)| \leq \frac{k}{a}\left(1-e^{-\alpha x}\right)
$$