单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ， 则当 $x \rightarrow 0$ 时，
$\text{A.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小量
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是同价但非等价无穷小量
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 较高阶的无穷小量
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 较低阶的无穷小量
在下列等式中，正确的结果是
$\text{A.}$ $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=f(x)$
$\text{B.}$ $\int \mathrm{d} f(x)=f(x)$
$\text{C.}$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x=f(x)$
$\text{D.}$ $\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x=f(x)$
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 的行列式 $|A|=0$ ，则 $A$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合
$\text{D.}$ 任一列向量是其余列向量的线性组合
设 $n$ 元齐次线性方程组 $A X=0$ 的系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，则 $A X=0$ 有非零解的充分必要条件是
$\text{A.}$ $r=n$
$\text{B.}$ $r < n$
$\text{C.}$ $r \geq n$
$\text{D.}$ $r>n$
设 $A$ 和 $B$ 均为 $n \times n$ 矩阵，则必有
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{B.}$ $A B=B A$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
以 $\boldsymbol{A}$ 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 $\bar{A}$ 为
$\text{A.}$ “甲种产品滞销，乙种产品畅销"
$\text{B.}$ “甲，乙产品均畅销"
$\text{C.}$ “甲种产品滞销"
$\text{D.}$ “甲种产品滞销或乙种产品畅销"
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=x+\sin ^2 x$ 在点 $\left(\frac{\pi}{2}, 1+\frac{\pi}{2}\right)$ 处的切线方程是
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n+1}}$ 的收敛域是
某商品的需求量 $Q$ 与价格 $P$ 的函数关系为 $Q=a P^b$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，且 $a \neq 0$ ，则需求量对价格 $P$ 的弹性是
行列式 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & x-1 \\ 1 & -1 & x+1 & -1 \\ 1 & x-1 & 1 & -1 \\ x+1 & -1 & 1 & -1\end{array}\right|=$
齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+\lambda x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+x_3=0\end{array}\right.$ 只有零解，则 $\lambda$ 应满足的条件是
设随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < 0 \\
A \sin x & 0 \leq x \leq \pi / 2 \\
1 & x>\pi / 2
\end{array}\right.
$$
则 $A=$ $\qquad$ $P\left\{|x| < \frac{\pi}{6}\right\}=$
设随机变量 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立，其中 $X_1$ 在 $[0,6]$ 上服从均匀分布， $X_2$ 服从正态分布 $N\left(0,2^2\right) ， X_3$ 服从参数为 $\lambda=3$ 的泊松分布，记 $Y=X_1-2 X_2+3 X_3$ ，则 $D Y=$
设随机变量 $X$ 的数学期望 $E X=\mu$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，则由切比雪夫不等式有 $P\{|X-\mu| \geq 3 \sigma\} \leq$
解答题 （共 18 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求下列极限：
(1) $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$.
(2) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+e^x\right)^{\frac{1}{x}}$.
求不定积分 $F(x)=\int \frac{x+\ln (1-x)}{x^2} \mathrm{~d} x$.
已知 $z=a^{\sqrt{x^2-y^2}}$ ，其中 $a>0, a \neq 1$ ，求 $\mathrm{d} z$.
已知 $z=f(u, v), u=x+y, v=x y$ ，且 $f(u, v)$ 的二阶偏导数都连续，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+6 y=2 e^{-x}$ 的通解.
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为 $P(x)=10 e^{-\frac{x}{2}}$ 且最大需求量为 6 ，其中 $x$ 表示需求量， $P$ 表示价格.
(1) 求该商品的边际收益函数;
(2) 求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格;
(3) 画出收益函数的图形.
已知某企业的总收入函数为 $R=26 x-2 x^2-4 x^3$ ，总成本函数为 $C=8 x+x^2$ ，其中 $x$ 表示产品的产量，求利润函数，边际收入函数，以及企业获得最大利润时的产量和最大利润.
已知函数 $y=\frac{2 x^2}{(1-x)^2}$ ，试求其单调区间，极值点，图形的凹凸性，拐点和渐近线，并画出函数图形.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x & 1 < x \leq 2\end{array}\right.$ ，试计算下列各题:
(1) $S_0=\int_0^2 f(x) e^{-x} \mathrm{~d} x$;
(2) $S_1=\int_2^4 f(x-2) e^{-x} \mathrm{~d} x$;
(3) $S_n=\int_{2 n}^{2 n+2} f(x-2 n) e^{-x} \mathrm{~d} x(n=2,3, \cdots)$ ；
(4) $S=\sum_{n=0}^{\infty} S_n$.
假设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x) \leq 0$ ，记 $F(x)=\frac{1}{x-a} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t$. 证明: 在 $(a, b)$ 内 $F^{\prime}(x) \leq 0$
求二重积分 $I=\iint_D \frac{1-x^2-y^2}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是 $x^2+y^2=1, x=0, y=0$ 所围成的区域在第 $I$ 象限部分.
已知 $X=A X+B$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & -1
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & 0 \\
5 & -3
\end{array}\right) \text {. }
$$
求矩阵 $\boldsymbol{X}$.
设 $\alpha_1=(1,1,1), \quad \alpha_2=(1,2,3), \quad \alpha_3=(1,3, t)$.
（1）问当 $t$ 为何值时，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关?
（2）问当 $t$ 为何值时，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关?
（3）当向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关时，将 $\alpha_3$ 表示为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的线性组合.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right)$.
(1) 试求矩阵 $A$ 的特征值;
(2) 利用 (1)小题的结果，求矩阵 $E+A^{-1}$ 的特征值，其中 $\boldsymbol{E}$ 是三阶单位矩阵.
已知随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
e^{-(x+y)} & 0 < x < \infty, 0 < y < +\infty \\
0 & \text { 其他 }
\end{array}\right. \text { ， }
$$
试求: (1) $P\{X < Y\}$ ； (2) $E(X Y)$.
设随机变量在 $[2,5]$ 上服从均匀分布，现在对 $X$ 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 $\mathbf{3}$ 的概率.
已知随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率分布为:
求：(1) $X$ 的概率分布;
(2) $X+Y$ 的概率分布;
(3) $Z=\sin \frac{\pi(X+Y)}{2}$ 的数学期望.
某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位: 小时）都服从同一指数分布，分布密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{600} e^{-\frac{x}{600}}, & \text { 若 } x>0 \\
0, & \text { 若 } x \leq 0
\end{array}\right. \text { ， }
$$
试求: 在仪器使用的最初 200 小时里，至少有一只电子元件损坏的概率 $\boldsymbol{\alpha}$.