单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
$x \rightarrow 0$ 时, 若 $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x}{1+b x+c x^2}$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小量, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-\frac{1}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $a=\frac{4}{3}, b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{6}$.
函数 $f(x)=\left(x^2-4 x\right)\left|x 2^{|x|}-x^3\right|$ 的不可导点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
过点 $(p, \sin p)$ 作曲线 $y=\sin x$ 的切线, 该曲线 (对应于 $0 \leqslant x \leqslant p$ 的部分) 与切线及 $y$ 轨所闹成平面图形的面积为 $S_1$, 与直线 $x=p$ 及 $x$ 轴所围成平面图形的面积为 $S_2$, 则 $\lim _{p-0} \frac{S_2}{S_1+S_2}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ 1
设 $p$ 为常数, 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^p} \arctan \frac{1}{\sqrt{n}}$ 条件收剑, 则 $p$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.
$\text{B.}$ $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$.
$\text{C.}$ $(0,1)$.
$\text{D.}$ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$.
已知二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=2 x_1^2+a x_2^2+4 x_1 x_2$ 对应的矩阵与 $\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right)$ 合同, 则
$\text{A.}$ $a>2, b=3$.
$\text{B.}$ $a < 2, b=3$.
$\text{C.}$ $a>2, b=\frac{2}{3}$.
$\text{D.}$ $a < 2, b=\frac{2}{3}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, 则 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{E}$ 是 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$ 的
$\text{A.}$ 必要非充分条件.
$\text{B.}$ 充分非必要条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 非充分非必要条件.
下列矩阵中, 与矩阵 $\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似的为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{rrr}3 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$.
将一颗骰子独立地捛两次, 引进事件: $A=\{$ 掷第一次出现的点数为 1$\}, B=\{$ 掊第二次虫现的点数为 2$\}, C=\{$ 两次点数之和为 8$\}, D=\{$ 两次点数之和为 7$\}$,则事件
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相互独立.
$\text{B.}$ $A$ 与 $D$ 相互独立.
$\text{C.}$ $C$ 与 $D$ 相互独立.
$\text{D.}$ $B$ 与 $C$ 相互独立.
设随机变量 $X$ 在区间 $(1,2)$ 内服从均匀分布, 在 $X=x$ 的条件下, 随机变量 $Y$ 服从参数为 $x$ 的指数分布. 则 $E(X Y)=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(0,0 ; 1,1 ; \frac{1}{2}\right)$, 则
$\text{A.}$ $\frac{(X+Y)^2}{3(X-Y)^2} \sim F(1.1)$.
$\text{B.}$ $X^2+Y^2 \sim \chi^2(2)$.
$\text{C.}$ $\frac{X}{|Y|} \sim t(1)$.
$\text{D.}$ $\frac{(X+Y)^2}{2} \sim \chi^2(1)$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=\sqrt{\frac{x^3}{2+x}} \cos (2 \arctan x)$ 的斜渐近线方程为
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^2-2 x=2 \mathrm{e}^y$ 所确定的隐函数, 则曲线 $y=y(x)$ 的拐点是
$\int_0^7 \sqrt{\frac{x}{2-x}} \mathrm{~d} x=$
设某商品的需求函数 $Q=Q(p)$, 需求弹性 $\eta=\frac{p}{60-p}(\eta>0), p$ 为单价 (万元), 则当 $p=10$万元时, 商品的总收益对白身价格的弹性 $\eta_1$ 为
行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}a & 0 & 0 & 0 & a^1 \\ 1 & a & 0 & 0 & a^3 \\ 0 & 1 & a & 0 & a^2 \\ 0 & 0 & 1 & a & a \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right|=$
设随机变量 $X$ 的概率分布满足 $3 P\{X=k+1\}=P\{X=k\}, k=1,2,3, \cdots$, 则 $P\{X>5 \mid X \geqslant 3\}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上 连续. 且满足 $f(x)+\int_0^x t f(x-t) \mathrm{d} t=x$, 区域 $D$ 是由曲线 $y=$ $f(x)$ ' $^{\prime} y=f(2 x)$ | $y$ 成的平面图形.求 $D$ 的面积及 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设函数 $f(u)$ 具有连续导数, $z=x f\left(\frac{y}{x}\right)+y f\left(\frac{y}{x}\right)$ 满足 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{x}$, 若 $f(1)=1$, 求 $f(u)$ 的表达式.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2+2}{\left(x^2+y^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geqslant 2, x \leqslant 1\right\}$.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_0=1, a_1=0, a_{n+1}=2 a_{n-1}-a_n(n=1,2,3, \cdots), S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} x^n$ 的和函数. 求 $S(x)$ 与 $a_n$ 的表达式.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_1 & 4 & a_2 & a_3 \\ 2 & 7 & 5 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为 $2 \times 4$ 矩阵, $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-2,3,-1)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,-2,1)^{\top}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$;
(II) 若方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解,求 $a_1, a_2, a_3, a_1$ 的值;
(III) 求方程组 $\boldsymbol{A} x=\mathbf{0}$ 满足 $x_3=-x_1$ 的全部解.
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的指数分布.
(I) 求 $Y=[X]+1$ 的概率分布, 并求 $E Y$;
(II) 求 $Z=X-[X]$ 的概率密度, 并求 $E Z$.