设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ a_1 & 4 & a_2 & a_3 \\ 2 & 7 & 5 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{B}$ 为 $2 \times 4$ 矩阵, $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,-2,3,-1)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,-2,1)^{\top}$.
(I) 求矩阵 $\boldsymbol{B}$;
(II) 若方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解,求 $a_1, a_2, a_3, a_1$ 的值;
(III) 求方程组 $\boldsymbol{A} x=\mathbf{0}$ 满足 $x_3=-x_1$ 的全部解.