单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
复数 $z=\frac{2 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}+\mathrm{i}$, 则 $|z|=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-2 x-3 < 0\right\}, B=\left\{x \mid x^2-4 x < 0, x \in \mathbf{Z}\right\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{2,3,4\}$
$\text{B.}$ $\{1,2\}$
$\text{C.}$ $\{0,1,2\}$
$\text{D.}$ $\{1,2,3\}$
设 $m, n$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 则下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\alpha \perp \beta, m / / \alpha$, 则 $m \perp \beta$
$\text{B.}$ 若 $\alpha \perp \beta, m \subset \alpha$, 则 $m \perp \beta$
$\text{C.}$ 若 $m / / \alpha, n \perp \alpha$, 则 $m \perp n$
$\text{D.}$ 若 $m \perp n, m / / \alpha$, 则 $n \perp \alpha$
$(2 x-3)(x-1)^5$ 的展开式中含 $x^3$ 项的系数为
$\text{A.}$ -50
$\text{B.}$ 50
$\text{C.}$ -10
$\text{D.}$ 10
记 $a=3^{0.2}, b=0.3^{-0.2}, c=\log _{0.2} 0.3$, 则
$\text{A.}$ $a>b>c$
$\text{B.}$ $b>c>a$
$\text{C.}$ $c>b>a$
$\text{D.}$ $b>a>c$
记等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 若 $S_8=8, S_{12}=26$, 则 $S_4=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
点 $P$ 是边长为 1 的正六边形 $A B C D E F$ 边上的动点, 则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$ 的最大值为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\frac{11}{4}$
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ $\frac{13}{4}$
已知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$, 其左右顶点分别为 $A, B$, 过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交双曲线 $E$ 于 $M, N$ 两点, 设线段 $M F$ 的中点为 $P$, 若直线 $B P$ 与直线 $A N$ 的交点在 $y$ 轴上, 则双曲线 $E$ 的离心率为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知函数 $f(x)=\sin 2 x+\sin \left(2 x+\frac{2 \pi}{3}\right)$, 则
$\text{A.}$ 函数 $f\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 是奇函数
$\text{B.}$ 函数 $f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 的最大值是 $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{12}\right)$ 上单调递减
如图所示, 下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态。图 (1)形成对称形态,图(2)形成“右拖尾”形态,图(3)形成“左拖尾”形态,根据所给图作出以下判断,正确的是
$\text{A.}$ 图 (1) 的平均数 $=$ 中位数 $=$ 众数
$\text{B.}$ 图 (2) 的平均数 $ < $ 众数 $ < $ 中位数
$\text{C.}$ 图 (2) 的众数 $ < $ 中位数 $ < $ 平均数
$\text{D.}$ 图 (3) 的平均数 $ < $ 中位数 $ < $ 众数
定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$, 若 $g(x)-f(3-x)=2$, $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x-1)$, 且 $g(-x+2)=-g(x+2)$, 则下列说法中一定正确的是
$\text{A.}$ $g(x+2)$ 为偶函数
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x+2)$ 为奇函数
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{2024} g(k)=0$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{12}=1$ 的左右焦点为 $F_1, F_2$, 椭圆上点 $P$ 满足 $\left|P F_1\right|:\left|P F_2\right|=2: 3$,则 $\triangle P F_1 F_2$ 的面积为
已知圆台 $O_1 O_2$ 的体积为 $14 \pi$, 其上底面圆 $O_1$ 半径为 1 , 下底面圆 $O_2$ 半径为 4 , 则该圆台的母线长为
设 $A, B, C$ 是一个三角形的三个内角, 则 $\cos A(3 \sin B+4 \sin C)$ 的最小值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且 $\frac{\cos C}{c}=\frac{\cos A}{3 b-a}$.
(1) 求 $\sin C$ 的值;
(2) 若 $\triangle A B C$ 的面积 $S=5 \sqrt{2}$, 且 $c=\sqrt{6}(a-b)$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
已知函数 $f(x)=\ln x-a x+x^2$.
(1) 若 $a=-1$, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 讨论 $f(x)$ 的单调性.
如图, 三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, 侧面 $A B B_1 A_1 \perp$ 底面 $A B C, A B=B B_1=2, A C=2 \sqrt{3}$, $\angle B_1 B A=60^{\circ}$, 点 $D$ 是棱 $A_1 B_1$ 的中点, $\overrightarrow{B C}=4 \overrightarrow{B E}, D E \perp B C$.
(1) 证明: $A C \perp B B_1$;
(2) 求直线 $B B_1$ 与平面 $D E A_1$ 所成角的正弦值.
已知抛物线 $E: y=x^2$, 过点 $T(1,2)$ 的直线与抛物线 $E$ 交于 $A, B$ 两点, 设抛物线 $E$ 在点 $A, B$ 处的切线分别为 $l_1$ 和 $l_2$, 已知 $l_1$ 与 $x$ 轴交于点 $M, l_2$ 与 $x$ 轴交于点 $N$, 设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$.
(1) 证明: 点 $P$ 在定直线上;
(2)若 $\triangle P M N$ 面积为 $\sqrt{2}$, 求点 $P$ 的坐标;
(3) 若 $P, M, N, T$ 四点共圆, 求点 $P$ 的坐标.
已知常数 $p \in(0,1)$, 在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中, 记 $X$ 为首次成功时所需的试验次数, $X$ 的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量 $X$ 的概率分布为几何分布.
(1) 对于正整数 $k$, 求 $P(X=k)$, 并根据 $E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} k P(X=k)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^n k P(X=k)\right)$ 求 $E(X)$;
(2) 对于几何分布的拓展问题, 在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中, 记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 $E_2$, 现提供一种求 $E_2$ 的方式:先进行第一次试验,若第一次试验失败, 因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助, 可以认为后续期望仍是 $E_2$, 即总的试验次数为 $\left(E_2+1\right)$; 若第一次试验成功, 则进行第二次试验, 当第二次试验成功时, 试验停止, 此时试验次数为 2 , 若第二次试验失败, 相当于重新试验, 此时总的试验次数为 $\left(E_2+2\right)$.
(i) 求 $E_2$;
(ii) 记首次出现连续 $n$ 次成功时所需的试验次数的期望为 $E_n$, 求 $E_n$.