已知常数 $p \in(0,1)$, 在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中, 记 $X$ 为首次成功时所需的试验次数, $X$ 的取值为所有正整数,此时称离散型随机变量 $X$ 的概率分布为几何分布.
(1) 对于正整数 $k$, 求 $P(X=k)$, 并根据 $E(X)=\sum_{k=1}^{\infty} k P(X=k)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^n k P(X=k)\right)$ 求 $E(X)$;
(2) 对于几何分布的拓展问题, 在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中, 记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 $E_2$, 现提供一种求 $E_2$ 的方式:先进行第一次试验,若第一次试验失败, 因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助, 可以认为后续期望仍是 $E_2$, 即总的试验次数为 $\left(E_2+1\right)$; 若第一次试验成功, 则进行第二次试验, 当第二次试验成功时, 试验停止, 此时试验次数为 2 , 若第二次试验失败, 相当于重新试验, 此时总的试验次数为 $\left(E_2+2\right)$.
(i) 求 $E_2$;
(ii) 记首次出现连续 $n$ 次成功时所需的试验次数的期望为 $E_n$, 求 $E_n$.