已知抛物线 $E: y=x^2$, 过点 $T(1,2)$ 的直线与抛物线 $E$ 交于 $A, B$ 两点, 设抛物线 $E$ 在点 $A, B$ 处的切线分别为 $l_1$ 和 $l_2$, 已知 $l_1$ 与 $x$ 轴交于点 $M, l_2$ 与 $x$ 轴交于点 $N$, 设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$.
(1) 证明: 点 $P$ 在定直线上;
(2)若 $\triangle P M N$ 面积为 $\sqrt{2}$, 求点 $P$ 的坐标;
(3) 若 $P, M, N, T$ 四点共圆, 求点 $P$ 的坐标.