已知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点为 $F$, 其左右顶点分别为 $A, B$, 过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交双曲线 $E$ 于 $M, N$ 两点, 设线段 $M F$ 的中点为 $P$, 若直线 $B P$ 与直线 $A N$ 的交点在 $y$ 轴上, 则双曲线 $E$ 的离心率为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$