定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的导函数分别为 $f^{\prime}(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$, 若 $g(x)-f(3-x)=2$, $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x-1)$, 且 $g(-x+2)=-g(x+2)$, 则下列说法中一定正确的是
$\text{A.}$ $g(x+2)$ 为偶函数
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x+2)$ 为奇函数
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ $\sum_{k=1}^{2024} g(k)=0$