单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数,则 $x=0$ 是函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-\frac{[x]}{x}}$ 的
$\text{A.}$ 跳跃间断点
$\text{B.}$ 可去间断点
$\text{C.}$ 无穷型间断点
$\text{D.}$ 无限振荡型间断点
设 $f(x, y)$ 为可微函数, $f_y^{\prime}(x, x+y)=2 y, f(x, x)=x^2$, 则 $f_x^{\prime}(x, y)=$
$\text{A.}$ $4 x$
$\text{B.}$ $4 x+2 y$
$\text{C.}$ $2 y$
$\text{D.}$ $4 x-2 y$
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 关于 $f(x), g(x)$ 的定积分有以下命题
(1) 若 $f(x) \geqslant 0$ 且不恒等于 0 , 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x>0$
(2) 若 $f(x) \geqslant 0$, 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=0$, 则 $f(x) \equiv 0$
(3) 若 $f(x) \leqslant g(x)$ 且存在 $x_0 \in[a, b]$ 使 $f\left(x_0\right) < g\left(x_0\right)$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x < \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$
(4) 若 $f(x) \leqslant g(x)$ 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$, 则 $f(x) \equiv g(x)$以上命题中正确的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $L_1, L_2, L_3$ 依次表示三条曲线 $y=\mathrm{e}^x-1, y=x, y=\ln (1+x)$ 介于区间 $[0,1]$ 上的曲弧段, $I_i=\int_{L_i} y^2 \mathrm{~d} s$, 则三者的大小关系为
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $n(n \geqslant 3)$ 维列向量, 关于向量组 (I) $k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, k \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 和 (II) $-k \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2,-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, k \boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 向量组 (I) 必线性无关
$\text{B.}$ 向量组 (II) 必线性无关
$\text{C.}$ 若向量组 (I) 线性无关,则向量组 (II)也线性无关
$\text{D.}$ 若向量组 (II) 线性无关, 则向量组 (I) 也线性无关
方程组 ( I ) $\left\{\begin{array}{l}x_1+2 x_2+3 x_3-x_4=0, \\ x_1-x_2+2 x_3+a x_4=0\end{array}\right.$ 与方程组 (II) $\left\{\begin{array}{l}2 x_1+x_2+5 x_3+x_4=0, \\ 3 x_2+x_3+b x_4=0\end{array}\right.$ 同解,则
$\text{A.}$ $a=1, b=2$
$\text{B.}$ $a=-1, b=2$
$\text{C.}$ $a=2, b=3$
$\text{D.}$ $a=2, b=-3$
设 $\boldsymbol{A}_i,(i=1,2)$ 均为 $n$ 阶对称阵, 且 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}_1 & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{E} & \boldsymbol{A}_2\end{array}\right)$ 为正定矩阵, 则下列说法不正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$ 正定
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$ 正定
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}$ 正定
$\text{D.}$ $|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}_2-\boldsymbol{A}_1^{-1}\right|$
当 ( )成立时, 随机事件 $A, B, C$ 相互独立.
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(A-B)=1$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(C-A)=0$
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(A \cup B)=1$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(A B C)=\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) \mathrm{P}(C)$
设 $Y_1, Y_2, Y_3$ 是来自总体 $Y \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-p & p\end{array}\right)(0 < p < 1)$ 的简单随机样本, 令
$$
X_k=\left\{\begin{array}{ll}
1, & Y_1+Y_2+Y_3=k \\
0, & Y_1+Y_2+Y_3 \neq k
\end{array}(k=1,2),\right.
$$
则 $\mathrm{P}\left\{X_1+X_2=1\right\}= $.
$\text{A.}$ $3 p^2+3(1-p)^2$
$\text{B.}$ $3 p(1-p)$
$\text{C.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)$
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 4-x^2\right\}$, 在 $D$ 上随机取一点 $(X, Y)$, 令随机变量 $U=\left\{\begin{array}{ll}0, & X \leqslant 1, \\ 1, & X>1,\end{array} \quad V=\left\{\begin{array}{cc}-1, & Y \leqslant 3, \\ 1, & Y>3,\end{array}\right.\right.$ 则 $U$ 和 $V$ 的相关系数 $\rho_{U V}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\sqrt{\frac{5}{77}}$
$\text{B.}$ $-\sqrt{\frac{5}{77}}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{\sqrt{77}}$
$\text{D.}$ $-\frac{5}{\sqrt{77}}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $n \geqslant 1$ 为自然数, $f(x)=\left(x^3-1\right)^n(\arctan x)^2$, 则 $f^{(n)}(1)=$
设非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) \cdot \int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\sin ^6 x$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值是
设曲面 $\Sigma: x^2-x y z+\mathrm{e}^{x+z}=1$ 上点 $(0,1,0)$ 处的法向量 $n$ 指向下方, 则函数 $f(x, y, z)$ $=x^2+2 y^2+3 z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处沿着 $n$ 的方向导数为
设 $\alpha>0$, 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^\alpha}{\alpha^n}$ 和级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{3-\alpha} n}$ 均收敛,则 $\alpha$ 的取值范围为
已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $0,1,2$, 设矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2-2 \boldsymbol{A}$, 则 $\mathrm{r}(\boldsymbol{B})=$
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,4)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 又 $F \sim F\left(n_1, n_2\right)$, 记 $\mathrm{P}\left\{F>F_\alpha\left(n_1, n_2\right)\right\}=\alpha(0 < \alpha < 1)$, 若 $\mathrm{P}\left\{\frac{|X|}{|Y|} \leqslant b\right\}=0.9$, 则 $b=$ . (用分位点 $F_\alpha\left(n_1, n_2\right)$ 表示)
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $y(x)$ 可导,且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=2$. 若在区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积等于该区间上曲线弧长的 2 倍.
(I) 证明 $y^{\prime \prime}(x)-\frac{1}{4} y(x)=0$;
(II) 求 $y(x)$.
设 $F(x, y)=x y+\frac{1}{2} y^2$, 曲线 $c$ 的方程为 $3\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2=4$, 点 $P$ 为 $c$ 上任一点, 以 $P(x, y), O(0,0), Q(x, 0)$ 三点为顶点的三角形面积记作 $S$, 求面积的最大值.
设 $\varphi(t)$ 具有连续导数, $\varphi(0)=0$. 在全平面内曲线积分
$$
I=\int_L(y-2 x \varphi(x y)) \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} x+(x-2 y \varphi(x y)) \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} y
$$
与路径无关.
( I ) 求 $\varphi(t)$;
(II) 设 $L$ 为从 $O(0,0)$ 到 $A(a, a)$ 的一条分段光滑曲线, 计算 $I(a)$;
(III) 求 $I(a)$ 的最值.
设 $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 证明:
( I ) 函数 $f(x)=\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\sin x}$ 单调递增;
( II ) $\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)>\sin x$.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2\end{array}\right)$,
(I) 求正交阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$, 其中 $\boldsymbol{\Lambda}$ 为对角阵.
(II) 求 $\boldsymbol{X}_{3 \times 2}$, 使得 $\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{O}$, 并讨论秩 $\mathrm{r}\left(\boldsymbol{X}_{3 \times 2}\right)$.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且分别服从正态分布 $\mathrm{N}\left(\mu, \sigma^2\right)$ 与 $\mathrm{N}\left(2 \mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma>0$ 为末知参数, 记 $Z=2 X-Y$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度 $f(z)$;
(II) 设 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本, 求 $\sigma^2$ 的极大似然估计量 $\hat{\sigma}^2$;
(III) 求 $\mathrm{E}\left(\hat{\sigma}^2\right)$ 和 $\mathrm{D}\left(\hat{\sigma}^2\right)$.