安徽省合肥一六八中学2024届高三上学期名校期末联合测试数学试题

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安徽省合肥一六八中学2024届高三上学期名校期末联合测试数学试题

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {2, 3}, B = {x ∣ x = 2 k, k \in Z}

, 则

B \cap C_{U} A =

A.

{4}

B.

{2, 4}

C.

{1, 2}

D.

{1, 3, 5}

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2. 复数

{(i - \frac{1}{i})}^{3}

的虚部为

A.

B.

-8

C.

8 i

D.

- 8 i

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3. 已知向量

\vec{a} = (0, - 2), \vec{b} = (1, t)

, 若向量

\vec{b}

在向量

\vec{a}

上的投影向量为

- \frac{1}{2} \vec{a}

, 则

\vec{a} \cdot \vec{b} =

A.

B.

- \frac{5}{2}

C.

-2

D.

\frac{11}{2}

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4. 在

△ A B C

中,

C = \frac{π}{2}

, 是

\sin^{2} A + \sin^{2} B = 1

的

A.

充分而不必要条件

B.

必要而不充分条件

C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件

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5. 过点

(0, - 2)

与圆

x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0

相切的两条直线的夹角为

α

, 则

\cos α =

A.

\frac{\sqrt{10}}{4}

B.

- \frac{1}{4}

C.

\frac{\sqrt{15}}{4}

D.

\frac{1}{4}

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A, B, C, D, E

五人站成一排, 如果

A, B

必须相邻, 那么排法种数为

A.

B.

120

C.

D.

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7. 若系列椭圆

C_{n} : a_{n} x^{2} + y^{2} = 1 (0 < a_{n} < 1, n \in N^{*})

的离心率

e_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}

, 则

a_{n} =

A.

1 - {(\frac{1}{4})}^{n}

B.

1 - {(\frac{1}{2})}^{n}

C.

\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}

D.

\sqrt{1 - {(\frac{1}{4})}^{n}}

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8. 已知等差数列

{a_{n}}

(公差不为 0 ) 和等差数列

{b_{n}}

的前

n

项和分别为

S_{n}, T_{n}

, 如果关于

x

的实系数方程

1003 x^{2} - S_{1003} x + T_{1003} = 0

有实数解, 那么以下 1003 个方程

x^{2} - a_{i} x + b_{i} = 0 (i = 1, 2, \dots, 1003)

中, 有实数解的方程至少有个

A.

499

B.

500

C.

501

D.

502

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

9. 已知一组数据:

12, 31, 24, 33, 22, 35, 45, 25, 16

, 若去掉 12 和 45 , 则剩下的数据与原数据相比, 下列结论正确的是

A.

中位数不变

B.

平均数不变

C.

方差不变

D.

第 40 百分位数不变

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10. 双曲线

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

, 左、右顶点分别为

A, B, O

为坐标原点, 如图, 已知动直线

l

与双曲线

C

左、右两支分别交于

P, Q

两点, 与其两条渐近线分别交于

R, S

两点, 则下列命题正确的是

A.

存在直线

l

, 使得

A P ∥ O R

B.

l

在运动的过程中, 始终有

| P R | = | S Q |

C.

若直线

l

的方程为

y = k x + 2

, 存在

k

, 使得

S_{△ O R B}

取到最大值

D.

若直线

l

的方程为

y = - \frac{\sqrt{2}}{2} (x - a), \vec{R S} = 2 \vec{S B}

, 则双曲线

C

的离心率为

\sqrt{3}

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11. 如图所示, 有一个棱长为 4 的正四面体

P - A B C

容器,

D

是

P B

的中点,

E

是

C D

上的动点, 则下列说法正确的是

A.

直线

A E

与

P B

所成的角为

\frac{π}{2}

B.

△ A B E

的周长最小值为

4 + \sqrt{34}

C.

如果在这个容器中放入 1 个小球 (全部进入), 则小球半径的最大值为

\frac{\sqrt{6}}{3}

D.

如果在这个容器中放入 4 个完全相同的小球(全部进入), 则小球半径的最大值为

\frac{2 \sqrt{6} - 2}{5}

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三、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 小于 300 的所有末尾是 1 的三位数的和等于

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13. 已知函数

f (x) = \ln (x + 1) - \frac{a x}{x + 1}

, 若

f (x) ⩾ 0

恒成立, 则

a =

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14. 已知抛物线

C : y^{2} = 2 p x (p > 0)

, 点

P

为抛物线上的动点, 点

A (4 - \frac{p}{2}, 0)

与点

P

的距离

| A P |

的最小值为 2 ,则

p =

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15. 在

△ A B C

中,

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

b = \sqrt{2}, c = 4, a_{\cos} C + b = 0

.
(1) 求

a

;
(2) 已知点

D

在线段

B C

上, 且

∠ A D B = \frac{3 π}{4}

, 求

A D

长.

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16. 甲、乙两人进行射击比赛, 每次比赛中, 甲、乙各射击一次, 甲、乙每次至少射中 8 环.根据统计资料可知, 甲击中 8 环、 9 环、 10 环的概率分别为

0.7, 0.2, 0.1

, 乙击中 8 环、 9 环、 10 环的概率分别为

0.6, 0.2, 0.2

,且甲、乙两人射击相互独立.
(1) 在一场比赛中, 求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率;
(2) 若独立进行三场比赛, 其中

X

场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数, 求

X

的分布列与数学期望.

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17. 如图, 圆台

O_{1} O_{2}

的轴截面为等腰梯形

A_{1} A C C_{1}, A C = 2 A A_{1} = 2 A_{1} C_{1} = 4, B

为底面圆周上异于

A, C

的点.

(1) 在平面

B C C_{1}

内, 过

C_{1}

作一条直线与平面

A_{1} A B

平行, 并说明理由.
(2) 设平面

A_{1} A B \cap

平面

C_{1} C B = l, Q \in l, B C_{1}

与平面

Q A C

所成角为

α

, 当四棱椎

B - A_{1} A C C_{1}

的体积最大时, 求

\sin α

的取值范围.

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18. 已知函数

f (x) = \ln x - a x (x - 1)

.
(1) 当

a < 0

时, 探究

f^{'} (x)

零点的个数;
(2) 当

a > 0

时, 证明:

f (x) ⩽ \frac{2 + a}{\sqrt{a^{2} + 8 a} - a} - \frac{3}{2}

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19. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家, 他的主要研究成果集中在他的代表作《圆椎曲线》一书中. 阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一, 指的是已知动点

M

与两定点

Q, P

的距离之比

\frac{| M Q |}{| M P |} = λ (λ > 0, λ \neq 1), λ

是一个常数, 那么动点

M

的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线

P Q

上. 已知动点

M

的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为

x^{2} + y^{2} = 4

,定点分别为椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右焦点

F

与右顶点

A

, 且椭圆

C

的离心率为

e = \frac{1}{2}

(1) 求椭圆

C

的标准方程;
(2) 如图, 过右焦点

F

斜率为

k (k > 0)

的直线

l

与椭圆

C

相交于

B, D

(点

B

在

x

轴上方), 点

S, T

是椭圆

C

上异于

B, D

的两点,

S F

平分

∠ B S D, T F

平分

∠ B T D

.
①求

\frac{| B S |}{| D S |}

的取值范围;
②将点

S 、 F 、 T

看作一个阿波罗尼斯圆上的三点, 若

△ S F T

外接圆的面积为

\frac{81 π}{8}

, 求直线

l

的方程.

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