解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
把下面矩阵表示成初等矩阵的乘积并求出其逆矩阵。
$$
\left(\begin{array}{ccc}
4 & 1 & 2 \\
3 & 2 & 1 \\
5 & -3 & 2
\end{array}\right)
$$
设 $M_2(k)$ 是数域 $k$ 上所有 2 -级方阵构成的线性空间。
(i). 证明: 矩阵的转置是 $M_2(k)$ 上的线性变换。
(ii). 求出转置线性变换在基本矩阵 $E_{i j}$ 构成的基下的矩阵。
设实数域 $R$ 上的矩阵 $A$ 为
$$
A=\left[\begin{array}{rcr}
a & 1 & -1 \\
1 & a & -1 \\
-1 & -1 & a
\end{array}\right]
$$
(1) 求正交矩阵 $Q$, 使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵 $D$, 其中 $Q^T$ 为 $Q$ 的转置;
(2) 求正定矩阵 $C$, 使得 $C^2=(a+3) I-A$, 其中 $I$ 为 3 阶单位矩阵。
设实二次型
$$
f(X)=f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_2+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3, \quad a \in \mathbb{R} \text { 为参数, }
$$
可用非退化线性替换 $X=C Y$ 化成二次型
$$
g(Y)=g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+y_2^2+4 y_3^2+2 y_1 y_2 .
$$
(1) 求参数 $a$ 的值:
(2) 求把 $f(X)$ 化成 $g(Y)$ 的非退化线性替换中的可逆矩阵 $C$ 。
设 $r, s$ 为正整数, 分块矩阵 $A$ 为
$$
A=\left[\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
O & A_{22}
\end{array}\right],
$$
其中 $A_{11}, A_{22}$ 分别为 $r$ 阶, $s$ 阶的方阵, $O$ 为 $s \times r$ 零矩阵。求证:
(1) $A$ 可逆的充分必要条件是 $A_{11}$ 与 $A_{22}$ 都可逆;
(2) 当 $A$ 可逆时, 用 $A_{11}, A_{12}, A_{22}$ 给出 $A^{-1}$ 的表达式。
设 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 为欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中的一组基。证明：存在 $\mathbb{R}^n$ 中的一组标准正交基 $\beta_1, \cdots, \beta_n$ 使得 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$ 到 $\beta_1, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵为上三角矩阵。
设 $\mathbb{R}$ 为实数域, $V$ 是以 0 为极限的实数数列全体, 即
$$
V=\left\{\left\{a_n\right\} \mid a_n \in \mathbb{R}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0\right\}
$$
在 $V$ 中定义加法与数乘运算: $\left\{a_n\right\}+\left\{b_n\right\}=\left\{a_n+b_n\right\}, k\left\{a_n\right\}=\left\{k a_n\right\}, k \in \mathbb{R}$, 则 $V$ 构成实数域 $\mathbb{R} $上 的线性空间(不需要证明).
请证明: $V$ 是无穷维的线性空间.