一、解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 把下面矩阵表示成初等矩阵的乘积并求出其逆矩阵。
2. 设 是数域 上所有 2 -级方阵构成的线性空间。
(i). 证明: 矩阵的转置是 上的线性变换。
(ii). 求出转置线性变换在基本矩阵 构成的基下的矩阵。
3. 设实数域 上的矩阵 为
(1) 求正交矩阵 , 使得 为对角矩阵 , 其中 为 的转置;
(2) 求正定矩阵 , 使得 , 其中 为 3 阶单位矩阵。
4. 设实二次型
为参数
可用非退化线性替换 化成二次型
(1) 求参数 的值:
(2) 求把 化成 的非退化线性替换中的可逆矩阵 。
5. 设 为正整数, 分块矩阵 为
其中 分别为 阶, 阶的方阵, 为 零矩阵。求证:
(1) 可逆的充分必要条件是 与 都可逆;
(2) 当 可逆时, 用 给出 的表达式。
6. 设 为欧几里得空间 中的一组基。证明：存在 中的一组标准正交基 使得 到 的过渡矩阵为上三角矩阵。
7. 设 为实数域, 是以 0 为极限的实数数列全体, 即
在 中定义加法与数乘运算: , 则 构成实数域 上 的线性空间(不需要证明).
请证明: 是无穷维的线性空间.