单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
$A, B$ 为二事件，则 $\overline{A \cup B}=(\quad)$
$\text{A.}$ $A B$
$\text{B.}$ $\bar{A} \bar{B}$
$\text{C.}$ $A \bar{B}$
$\text{D.}$ $\bar{A} \cup \bar{B}$
设 $A, B, C$ 表示三个事件，则 $\bar{A} \bar{B} \bar{C}$ 表示
$\text{A.}$ $A, B, C$ 中有一个发生
$\text{B.}$ $A, B, C$ 中恰有两个发生
$\text{C.}$ $A, B, C$ 中不多于一个发生
$\text{D.}$ $A, B, C$ 都不发生
$A, B$ 为两事件，若 $P(A \cup B)=0.8, P(A)=0.2$, $P(\bar{B})=0.4$ 则 $(\bar{\square})$ 成立
$\text{A.}$ $P(A \bar{B})=0.32$
$\text{B.}$ $P(\bar{A} \bar{B})=0.2$
$\text{C.}$ $P(B-A)=0.4$
$\text{D.}$ $P(\bar{B} A)=0.48$
设 $A, B$ 为任二事件，则
$\text{A.}$ $P(A-B)=P(A)-P(B)$
$\text{B.}$ $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A)=P(A B)+P(A \bar{B})$
设事件 $A, B$ 相互独立，则下列说法错误的是
$\text{A.}$ $A$ 与 $\bar{B}$ 独立
$\text{B.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 独立
$\text{C.}$ $P(\bar{A} B)=P(\bar{A}) P(B)$
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 一定互斥
设离散型随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布列为
其分布函数为 $F(x)$ ，则 $F(3)=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.8
$\text{D.}$ 1
设离散型随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
c x^4, & x \in[0,1] \\
0, & \text { 其它 }
\end{array} \text { ，则常数 } c=\right.
$$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
设 $X \sim N(0,1)$ ，密度函数 $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ ，则 $\varphi(x)$ 的最大值是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 可取无穷多个值 $0,1,2, \ldots$, 其概率分布为 $p(k ; 3)=\frac{3^k}{k !} e^{-3}, k=0,1,2, \cdots$ ，则下式成立的是
$\text{A.}$ ${E X}={D} {X}={3}$
$\text{B.}$ $E X=D X=\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $E X=3, D X=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $E X=\frac{1}{3}, D X=9$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，则有
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X+1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
独立随机变量 $X, Y$ ，若 $X \sim N(1,4), Y \sim N(3,16)$ ，下式中不成立的是
$\text{A.}$ $E(X+Y)=4$
$\text{B.}$ $E(X Y)=3$
$\text{C.}$ $D(X-Y)=12$
$\text{D.}$ $E(Y+2)=16$
设随机变量 $X$ 的分布列为:
则常数 $c= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{4}$
设 $X \sim N(0,1)$ ，又常数 $c$ 满足 $P\{X \geq c\}=P\{X < c\}$ ，则 $c=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ -1
已知 $E X=-1, D X=3$ ，则 $E\left[3\left(X^2-2\right)\right]=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 30
$\text{D.}$ 36
当 $X$ 服从 ________ 分布时， $E X=D X$.
$\text{A.}$ 指数
$\text{B.}$ 泊松
$\text{C.}$ 正态
$\text{D.}$ 均匀
下列结论中， ________ 不是随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关的充 要条件.
$\text{A.}$ $E(X Y)=E(X) E(Y)$
$\text{B.}$ $D(X+Y)=D X+D Y$
$\text{C.}$ $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$
$\text{D.}$ $X$ 与 $Y$ 相互独立
设 $X-b(n, p)$ 且 $E X=6, D X=3.6$ ，则有
$\text{A.}$ $n=10, p=0.6$
$\text{B.}$ $n=20, p=0.3$
$\text{C.}$ $n=15, p=0.4$
$\text{D.}$ $n=12, p=0.5$
设 $p(x, y), p_{\xi}(x), p_\eta(y)$ 分别是二维随机变量 $(\xi, \eta)$ 的联合密度函数及边缘密度函数，则 ________ 是 $\xi$ 与 $\eta$ 独 立的充要条件.
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta})=\boldsymbol{E} \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{E} \boldsymbol{\eta}$
$\text{B.}$ $D(\xi+\eta)=D \xi+D \eta$
$\text{C.}$ $\xi$ 与 $\eta$ 不相关
$\text{D.}$ 对 $\forall x, y$, 有 $p(x, y)=p_{\xi}(x) p_\eta(y)$
设是二维离散型随机变量，则 $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是
$\text{A.}$ $E(X Y)=E X E y$
$\text{B.}$ $D(X+Y)=D X+D Y$
$\text{C.}$ $X$ 与 $Y$ 不相关
$\text{D.}$ 对 $(X, Y)$ 的任何可能取值 $\left(x_i, y_j\right), P_{i j}=P_{i \bullet} \cdot P_{\cdot j}$
设 $(X, Y)$ 联合密度为 $p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}4 x y, & 0 \leq x, y \leq 1 \\ 0, & \text { 其它 ， }\end{array}\right.$ 若 $F(x, y)$ 为分布函数，则 $F(0.5,2)= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若事件 $A, B$ 相互独立， $P(A)=0.8, P(B)=0.6$. 求: $P(A+B)$ 和 $P\{\bar{A} \mid(A+B)\}$.
设随机变量 $X \sim N(2,4)$ ，且 $\Phi(1.65)=0.95$. 求 $P(X \geq 5.3)$.
已知连续型随机变量 $\xi$ 的分布函数为
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{lc}
0, & x \leq 0 \\
\frac{x}{4}, & 0 < x \leq 4 \text {, 求 } E \xi, D \xi . \\
1, & x>4
\end{array}\right.
$$
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)=A+B \arctan x,-\infty < x < +\infty .
$$
求: (1) 常数 $A, B$ ；
(2) $X$ 落入 $(-1,1)$ 的概率；
(3) $X$ 的密度函数 $f(X)$.
某射手有 3 发子弹，射一次命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，如果命中 了就停止射击，否则一直独立射到子弹用尽. 求:
(1) 耗用子弹数 $X$ 的分布律;
(2) $\boldsymbol{E X}$;
(3) $D X$.
设 $(\xi, \eta)$ 的联合密度为
$$
p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
4 x y, & 0 \leq x, y \leq 1 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array} ，\right.
$$
求: (1) 边际密度函数 $p_{\xi}(x), p_\eta(y)$ ；
(2) $E \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{E} \boldsymbol{\eta}$;
(3) $\xi$ 与 $\eta$ 是否独立.
设 $X_1, X_2$ 是来自正态总体 $N(\mu, 1)$ 的样本，下列三个估 计量是不是参数 $\mu$ 的无偏估计量，若是无偏估计量，试判断 哪一个较优?
$$
\begin{gathered}
\hat{\mu_1}=\frac{2}{3} X_1+\frac{1}{3} X_2, \hat{\mu}_1=\frac{1}{4} X_1+\frac{3}{4} X_2, \\
\hat{\mu}_1=\frac{1}{2} X_1+\frac{1}{2} X_2 .
\end{gathered}
$$
设 $\xi \sim f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}(\theta>0)\right.$ ， $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 为 $\xi$ 的一组观察值，求 $\theta$ 的极大似然估计