单选题 （共 11 题 ），每题只有一个选项正确
$ A, B, C$ 为任意三个事件，则与事件 $(A-B) \cup(B-C)$ 相等的事件为（ ）．
$\text{A.}$ $A \cap B \cap C$
$\text{B.}$ $A \cup(B-C)$
$\text{C.}$ $(A \cup B)-C$
$\text{D.}$ $(A \cup B)-B C$
已知 $A$ 与 $B$ 是任意两个互不相容的事件，下列结论正确的是 ．
$\text{A.}$ 如果 $P(A)=0$ ，则 $P(B)=0$
$\text{B.}$ 如果 $P(A)=0$ ，则 $P(B)=1$
$\text{C.}$ 如果 $P(A)=1$ ，则 $P(B)=0$
$\text{D.}$ 如果 $P(A)=1$ ，则 $P(B)=1$
将一枚硬币独立地掷两次，记事件 $A_1=\{$ 挴第一次出现正面 $\}, A_2=\{$ 掷第二次出现正面 $\}, A_3=\{$ 正、反面各出现一次 $\}, A_4=\{$ 正面出现两次 $\}$ ，则事件（ ）．
$\text{A.}$ $A_1, A_2, A_3$ 相互独立
$\text{B.}$ $A_2, A_3, A_4$ 相互独立
$\text{C.}$ $A_1, A_2, A_3$ 两两独立
$\text{D.}$ $A_2, A_3, A_4$ 两两独立
设 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则在下列函数中，仍为分布函数的是（ ）。
$\text{A.}$ $F(2 x-1)$
$\text{B.}$ $F(1-x)$
$\text{C.}$ $F\left(x^2\right)$
$\text{D.}$ $1-F(-x)$
设 $X, Y, Z$ 相互独立，$X \sim N(1,2), Y \sim N(2,2), Z \sim N(3,7)$ ，记 $a=P\{X < Y\}, b=P\{Y < Z\}$ ，则 ．
$\text{A.}$ $a>b$
$\text{B.}$ $a < b$
$\text{C.}$ $a=b$
$\text{D.}$ $a, b$ 大小关系不确定
设随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数为 $\varphi(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-(x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 则 $Z=\frac{X+Y}{2}$ 的概率密度函数是（ ）．
$\text{A.}$ $f_Z(z)= \begin{cases}\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{z}{2}}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{B.}$ $f_Z(z)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-z}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{C.}$ $f_Z(z)= \begin{cases}4 z \mathrm{e}^{-2 z}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
$\text{D.}$ $f_Z(z)= \begin{cases}\left(\frac{1}{2}\right)^{-z}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
设随机变量 $X \sim U(0,3)$ ，随机变量 $Y$ 服从参数为 2 的泊松分布，且 $\operatorname{Cov}(X, Y)=-1$ ，则 $D(2 X-Y+1)=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 5
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 10
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ ，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$S_n$ 近似服从正态分布，只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n$（）。
$\text{A.}$ 有相同期望和方差
$\text{B.}$ 服从同一离散型分布
$\text{C.}$ 服从同一均匀分布
$\text{D.}$ 服从同一连续型分布
设 $X_1, \cdots, X_n$ 是取自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，其均值和方差分别为 $\bar{X}, S^2$ ，则服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布的随机变量是（ ）．
$\text{A.}$ $\frac{\bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$
$\text{B.}$ $\frac{n \bar{X}^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$
$\text{C.}$ $\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$
$\text{D.}$ $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2}$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{16}$ 是来自总体 $N(\mu, 4)$ 的简单随机样本，考虑假设检验问题 $H_0: \mu \leqslant 10, H_1: \mu>10, \Phi(x)$ 表示标准正态分布函数．若该检验问题的拒绝域为 $W=\{\bar{X} \geqslant 11\}$ ，其中 $\bar{X}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} X_i$ ，则 $\mu=11.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）．
$\text{A.}$ $1-\Phi(0.5)$
$\text{B.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(1.5)$
$\text{D.}$ $1-\Phi(2)$
$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma^2\right), Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 是来自总体 $Y \sim N\left(\mu_2, \sigma^2\right)$ ，样本均值和样本方差分别为 $\bar{X}, S_1^2$ 与 $\bar{Y}, S_2^2, \sigma^2$ 未知，则假设检验问题 $H_0: \mu_1= \mu_2, H_1: \mu_1>\mu_2$ 的显著性水平为 0.1 的拒绝域为（ ）。
$\text{A.}$ $W=\left\{\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{n}}}>t_{0.1}(2 n)\right\}$
$\text{B.}$ $W=\left\{\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{n}}}>t_{0.1}(2 n-2)\right\}$
$\text{C.}$ $W=\left\{\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{n}}}>t_{0.05}(2 n-2)\right\}$
$\text{D.}$ $W=\left\{\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{S_1^2+S_2^2}{n}}}>t_{0,05}(2 n-1)\right\}$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机事件 $A, B, C$ 的概率均为 $p$ ，且 $A$ 与 $B, C$ 分别独立，$B$ 与 $C$ 不相容．若 $A$ ， $B, C$ 中至少一个发生的概率为 $\frac{7}{9}$ ，则 $A, B, C$ 中至少发生两个的概率为
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，$B$ 与 $C$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 互不相容．已知 $P(A)=P(C)=\frac{1}{4}, P(B)=\frac{1}{2}$ ，则在事件 $A, B, C$ 至少有一个发生的条件下，$A$ ， $B, C$ 中恰有一个发生的概率为
袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为
从 $[0,1]$ 之间任取两个数，则两数之和小于 $\frac{1}{2}$ 的条件下，两数之乘积小于 $\frac{3}{64}$ 的概率为
假设随机变量 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立且都服从 $0-1$ 分布，$P\left\{X_i=1\right\}=p$ ， $P\left\{X_i=0\right\}=1-p(i=1,2,3,4,0 < p < 1)$ ，已知二阶行列式 $\left|\begin{array}{ll}X_1 & X_2 \\ X_3 & X_4\end{array}\right|$ 的值大于零的概率等于$\frac{1}{4}$ ，则 $p=$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{\left(1+\mathrm{e}^x\right)^2},-\infty < x < +\infty$ ，令 $Y=\mathrm{e}^X$ ．
（1）求 $X$ 的分布函数；
（2）求 $Y$ 的概率密度函数；
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N(1,1)$ 和 $N(0,1), E(X Y)=0.25$ ，根据切比雪夫不等式，$P\{-5 < X+2 Y < 7\} \geqslant$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球．现无放回地从袋中取两次，每次取一个，以 $X, Y, Z$ 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数．
（1）求 $P\{X=1 \mid Z=0\}$ ；
（2）求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布．
设随机变量 $Y$ 的概率密度是 $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}y \mathrm{e}^{-y}, & y>0, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 在 $Y=y(y>0)$ 的条件下，随机变量 $X$ 在区间 $(0, y)$ 上服从均匀分布．
（1）求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度；
（2）求 $X$ 的概率密度；
（3）求概率 $P\left\{\frac{X}{Y} \leqslant \frac{1}{2}\right\}$ ．
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]$ ，其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态概率密度，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ 。它们的边缘概率密度所对应的随机变量的数学期望都是 0 ，方差都是 1 。
（1）求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(y)$ ；
（2）求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$ ；
（3）$X$ 与 $Y$ 是否相互独立？请说明理由．
设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的一个简单随机样本．
（1）求 $\lambda$ 的最大似然估计量；（2）求 $\lambda^2$ 的最大似然估计量．
设总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x ; c, \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x-c}{\theta}}, & x \geqslant c, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 其中 $c, \theta(c>0$, $\theta>0)$ 为未知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自 $X$ 的一个简单随机样本，其样本值为 $x_1, x_2, \cdots$ ， $x_n$.
（1）求 $c$ 与 $\theta$ 的矩估计量；
（2）求 $c$ 与 $\theta$ 的最大似然估计量．