设随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度函数为 $\varphi(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{-(x+y)}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 则 $Z=\frac{X+Y}{2}$ 的概率密度函数是（ ）．
A. $f_Z(z)= \begin{cases}\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{z}{2}}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
B. $f_Z(z)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-z}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
C. $f_Z(z)= \begin{cases}4 z \mathrm{e}^{-2 z}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$
D. $f_Z(z)= \begin{cases}\left(\frac{1}{2}\right)^{-z}, & z>0, \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}$