设随机变量 $Y$ 的概率密度是 $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}y \mathrm{e}^{-y}, & y>0, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 在 $Y=y(y>0)$ 的条件下，随机变量 $X$ 在区间 $(0, y)$ 上服从均匀分布．
（1）求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度；
（2）求 $X$ 的概率密度；
（3）求概率 $P\left\{\frac{X}{Y} \leqslant \frac{1}{2}\right\}$ ．