设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]$ ，其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态概率密度，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ 。它们的边缘概率密度所对应的随机变量的数学期望都是 0 ，方差都是 1 。
（1）求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(y)$ ；
（2）求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$ ；
（3）$X$ 与 $Y$ 是否相互独立？请说明理由．