2022年山西省中考数学真题试卷

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2022年山西省中考数学真题试卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. -6 的相反数为

A.

6

B.

\frac{1}{6}

C.

- \frac{1}{6}

D.

- 6

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2. 2022 年 4 月 16 日, 神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务, 顺利返回地球家园.六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标, 其文字上方的图案是中心对称图形的是

A.

B.

C.

D.

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3. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础. 2021 年我国粮食总产量再创新高, 达 68285 万吨. 该数据可用科学记数法表示为

A.

6.8285 \times 10^{4}

吨

B.

68285 \times 10^{4}

吨

C.

6.8285 \times 10^{7}

吨

D.

6.8285 \times 10^{8}

吨

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4. 神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现, 其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为 0.618 . 这体现了数学中的

A.

平移

B.

旋转

C.

轴对称

D.

黄金分割

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5. 不等式组

{\begin{cases} 2 x + 1 ⩾ 3 \\ 4 x - 1 < 7 \end{cases}

的解集是

A.

x ⩾ 1

B.

x < 2

C.

1 ⩽ x < 2

D.

x < \frac{1}{2}

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6. 如图, Rt

△ ABC

是一块直角三角板, 其中

∠ C = 90^{\circ}, ∠ BAC = 30^{\circ}

. 直尺的一边

DE

经过顶点

A

, 若

DE / / CB

, 则

∠ DAB

的度数为

A.

100^{\circ}

B.

120^{\circ}

C.

135^{\circ}

D.

150^{\circ}

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7. 化简

\frac{1}{a - 3} - \frac{6}{a^{2} - 9}

的结果是

A.

\frac{1}{a + 3}

B.

a - 3

C.

a + 3

D.

\frac{1}{a - 3}

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8. 如图,

△ ABC

内接于

⊙ O, AD

是

⊙ O

的直径, 若

∠ B = 20^{\circ}

, 则

∠ CAD

的度数是

A.

60^{\circ}

B.

65^{\circ}

C.

70^{\circ}

D.

75^{\circ}

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9. “二十四节气” 是中华上古农耕文明的智慧结晶, 被国际气象思並为 “中国第五大发明”, 小文购买了 “二十四节气” 主题邮票, 他要将 “立春” “立夏” “秋分” “大赛” 四张邮票中的两张送给好朋友小乐.小文将它们背面朝上放在桌面上 (邮票背面完全相同), 让小乐从中随机抽取一张 (不放回), 再从中随机抽取一张, 则小乐抽到的两张邮票恰好是 “立春” 和 “立夏” 的概率是

A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{1}{6}

D.

\frac{1}{8}

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10. 如图, 扇形纸片

AOB

的半径为 3 , 沿

AB

折叠扇形纸片, 点

O

恰好落在

\hat{AB}

上的点

C

处, 图中阴影部分的面积为

A.

3 π - 3 \sqrt{3}

B.

3 π - \frac{9 \sqrt{3}}{2}

C.

2 π - 3 \sqrt{3}

D.

6 π - \frac{9 \sqrt{3}}{2}

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 计算:

\sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{2}}

的结果为

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12. 根据物理学知识, 在压力不变的情况下, 某物体承受的压强

p (P a)

是它的受力面积

S

(m^{2})

的反比例函数, 其函数图象如图所示, 当

S = 0.25 m^{2}

时, 该物体承受的压强

p

的值为（　　）

P a

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13. 生物学研究表明, 植物光合作用速率越高, 单位时间内合成的有机物越多, 为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率, 科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株, 在同等实验条件下, 测量它们的光合作用速率 (单位:

μ m o l \cdot m^{-} 2 \cdot s^{- 1}

), 结果统计如下:

则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是　（　　）　（填“甲”或“乙”）．

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14. 某品牌护眼灯的进价为 240 元, 商店以 320 元的价格出售. “五一节” 期间, 商店为让利于顾客, 计划以利润率不低于

20 %

的价格降价出售, 则该护眼灯最多可降价（　　）元

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15. 如图, 在正方形

ABCD

中, 点

E

是边

BC

上的一点, 点

F

在边

CD

的延长线上, 且

BE = DF

, 连接

E F

交边

A D

于点

G

. 过点

A

作

A N ⊥ E F

, 垂足为点

M

, 交边

C D

于点 N. 若

B E = 5

C N = 8

，则线段

A N

的长为

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. (1) 计算:

(- 3)^{2} \times 3^{- 1} + (- 5 + 2) + | - 2 |

;
(2) 解方程组:

{\begin{cases} 2 x - y = 3, (1) \\ x + y = 6 . (2) \end{cases}

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17. 如图, 在矩形

ABCD

中,

AC

是对角线.
(1) 实践与操作: 利用尺规作线段

AC

的垂直平分线, 垂足为点

O

, 交边

AD

于点

E

, 交边

BC

于点

F

(要求: 尺规作图并保留作图痕迹, 不写作法, 标明字母),
(2) 猜想与证明: 试猜想线段

AE

与

CF

的数量关系, 并加以证明.

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18. 2022 年我国已成为全球最大的电动汽车市场, 电动汽车在保障能源安全, 改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势, 经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现, 电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少 0.6 元. 若充电费和加油费均为 200 元时, 电动汽车可行驶的总路程是燃油车的 4 倍, 求这款电动汽车平均每公里的充电费.

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19. 首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代·奋进新征程”.某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：

请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息.

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20. 阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道, 一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

的根就是相应的二次函数

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

的图象 (称为拋物线) 与

x

轴交点的横坐标. 抛物线与

x

轴的交点有三种情况: 有两个交点、有一个交点、无交点. 与此相对应, 一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根. 因此可用抛物线与

x

轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.
下面根据拋物线的顶点坐标

(- \frac{b}{2 a}, \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})

和一元二次方程根的判别式

Δ = b^{2} - 4 a c

, 分别从

a > 0

和

a < 0

两种情况进行分析:

(1)

a > 0

时, 拋物线开口向上.
①当

Δ = b^{2} - 4 a c > 0

时, 有

4 a c - b^{2} < 0 . ∵ a > 0, ∴

顶点纵坐标

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} < 0

∴

顶点在

x

轴的下方, 抛物线与

x

轴有两个交点 (如图 1).
②当

Δ = b^{2} - 4 a c = 0

时, 有

4 a c - b^{2} = 0 . ∵ a > 0, ∴

顶点纵坐标

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = 0

∴

顶点在

x

轴上, 拋物线与

x

轴有一个交点 (如图 2).

∴

一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

有两个相等的实数根.
③当

Δ = b^{2} - 4 a c < 0

时,

(2)

a < 0

时, 抛物线开口向下.

任务: (1) 上面小论文中的分析过程, 主要运用的数学思想是 (从下面选项中选出两个即可);
A. 数形结合
B. 统计思想
C. 分类讨论
D. 转化思想
(2) 请参照小论文中当

a > 0

时(1)(2)的分析过程, 写出(3)中当

a > 0, Δ < 0

时, 一元二次方程根的情况的分析过程, 并画出相应的示意图;
(3) 实际上, 除一元二次方程外, 初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识, 例如: 可用函数观点来认识一元一次方程的解请你再举出一例为

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21. 随着科技的发展, 无人机已广泛应用于生产和生活, 如代替人们在高空测量距离和角度. 某校 “综合与实践” 活动小组的同学要测星

AB, CD

两座楼之间的距离, 他们借助无人机设计了如下测量方案: 无人机在

AB, CD

两楼之间上方的点

O

处, 点

O

距地面

AC

的高度为

60 m

, 此时观测到楼

AB

底部点

A

处的俯角为

70^{\circ}

, 楼

CD

上点

E

处的俯角为

30^{\circ}

, 沿水平方向由点

O

飞行 24 到达点

F

, 测得点

E

处俯角为

60^{\circ}

, 其中点

A, B, C, D, E, F

O

均在同一坚直平面内.请根据以上数据求楼

AB

与

CD

之间的距离

AC

的长（结果精确到 1m. 参考数据:

\sin 70^{\circ} \approx 0.94, \cos 70^{\circ} \approx 0.34, \tan 70^{\circ} \approx 2.75, \sqrt{3} \approx 1.73

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22. 综合与实践
问题情境: 在 Rt

△ ABC

中,

∠ BAC = 90^{\circ}, AB = 6, AC = 8

. 直角三角板

EDF

中

∠ EDF = 90^{\circ}

, 将三角板的直角顶点

D

放在 Rt

△ ABC

斜边

BC

的中点处, 并将三角板绕点

D

旋转, 三角板的两边

DE, DF

分别与边

AB, AC

交于点

M, N

, 猜想证明:
(1) 如图①, 在三角板旋转过程中, 当点

M

为边

AB

的中点时, 试判断四边形

AMDN

的形状, 并说明理由; 问题解决:
(2) 如图②, 在三角板旋转过程中, 当

∠ B = ∠ MDB

时, 求线段

CN

的长;
(3) 如图③, 在三角板旋转过程中, 当

AM = AN

时, 直接写出线段

AN

的长.

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23. 如图, 二次函数

y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4

的图象与

x

轴交于

A, B

两点 (点

A

在点

B

的左侧), 与

y

轴交于点

C

, 点

P

是第一象限内二次函数图象上的一个动点, 设点

P

的横坐标为

m

. 过点

P

作直线

P D ⊥ x

轴于点

D

, 作直线

B C

交

P D

于点

E

(1) 求

A, B, C

三点的坐标, 并直接写出直线

BC

的函数表达式;
(2) 当

△ C E P

是以

P E

为底边的等腰三角形时, 求点

P

的坐标;
(3) 连接

AC

, 过点

P

作直线

l / / AC

, 交

y

轴于点

F

, 连接 DF.试探究: 在点

P

运动的过程中, 是否存在点

P

, 使得

CE = FD

, 若存在, 请直接写出

m

的值; 若不存在, 请说明理由.

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