数学试题讲解

阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道, 一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

的根就是相应的二次函数

y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)

的图象 (称为拋物线) 与

x

轴交点的横坐标. 抛物线与

x

轴的交点有三种情况: 有两个交点、有一个交点、无交点. 与此相对应, 一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根. 因此可用抛物线与

x

轴的交点个数确定一元二次方程根的情况.
下面根据拋物线的顶点坐标

(- \frac{b}{2 a}, \frac{4 a c - b^{2}}{4 a})

和一元二次方程根的判别式

Δ = b^{2} - 4 a c

, 分别从

a > 0

和

a < 0

两种情况进行分析:

(1)

a > 0

时, 拋物线开口向上.
①当

Δ = b^{2} - 4 a c > 0

时, 有

4 a c - b^{2} < 0 . ∵ a > 0, ∴

顶点纵坐标

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} < 0

∴

顶点在

x

轴的下方, 抛物线与

x

轴有两个交点 (如图 1).
②当

Δ = b^{2} - 4 a c = 0

时, 有

4 a c - b^{2} = 0 . ∵ a > 0, ∴

顶点纵坐标

\frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = 0

∴

顶点在

x

轴上, 拋物线与

x

轴有一个交点 (如图 2).

∴

一元二次方程

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)

有两个相等的实数根.
③当

Δ = b^{2} - 4 a c < 0

时,

(2)

a < 0

时, 抛物线开口向下.

任务: (1) 上面小论文中的分析过程, 主要运用的数学思想是 (从下面选项中选出两个即可);
A. 数形结合
B. 统计思想
C. 分类讨论
D. 转化思想
(2) 请参照小论文中当

a > 0

时(1)(2)的分析过程, 写出(3)中当

a > 0, Δ < 0

时, 一元二次方程根的情况的分析过程, 并画出相应的示意图;
(3) 实际上, 除一元二次方程外, 初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识, 例如: 可用函数观点来认识一元一次方程的解请你再举出一例为