单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=a_n-\frac{1}{3} a_n^2\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，则
$\text{A.}$ $2 < 100 a_{100} < \frac{5}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{5}{2} < 100 a_{100} < 3$
$\text{C.}$ $3 < 100 a_{100} < \frac{7}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{2} < 100 a_{100} < 4$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_{n+1}=\frac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则
$\text{A.}$ $\frac{3}{2} < S_{100} < 3$
$\text{B.}$ $3 < S_{100} < 4$
$\text{C.}$ $4 < S_{100} < \frac{9}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{9}{2} < S_{100} < 5$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=2, a_{n+1}=a_n+n+1$
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{1}{a_n}$ ，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，证明 $T_n < 2$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=1, a_n=3^{n-1}+a_{n-1}\left(n \in \mathrm{~N}^*, n \geq 2\right)$ ．
（1）求 $a_2, a_3$ ；
（2）证明：$a_n=\frac{3^n-1}{2}$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}+a_n-2 a_{n+1}=2^n, a_1=1, a_2=3$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求 $\left\{(-1)^{n+1} \cdot\left(\frac{2^{n+1}+2^n-2}{a_{n+1} a_n}\right)\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}, a_1=1, a_{n+1}=-a_n+4 \times 3^{n-1}, b_n=\log _3 a_{n+2}{ }^{a_{n+2}}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．
（1）求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，并求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ；
（2）求数列 $\left\{\left(2+\frac{3}{n}\right) \cdot \frac{1}{b_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1=1,\left\{\frac{S_n}{a_n}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n} < 2$ ．
已知数列 $\{a n\},\{b n\},\{c n\}$ 中，$a_1=b_1=c_1=1, c_n=a_{n+1}-a_n, c_{n+1}=\frac{b_n}{b_{n+2}} \cdot c_n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ．
（I）若数列 $\{b n\}$ 为等比数列，且公比 $q>0$ ，且 $b_1+b_2=6 b_3$ ，求 $q$ 与 $\{a n\}$ 的通项公式；
（II）若数列 $\{b n\}$ 为等差数列，且公差 $d>0$ ，证明：$c_1+c_2+\mathrm{L}+c_n < 1+\frac{1}{d} .\left(n \in N^*\right)$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, \frac{1}{2} S_n=a_n-2^{n-1}$ ．
（1）证明：$\left\{\frac{a_n}{2^{n-1}}\right\}$ 是等差数列；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项积．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_2=1, a_{n+1}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2 n}\right) a_n$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$S_n < 2$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $(n+3) S_n=n S_{n+1}\left(n \in \mathrm{~N}_{+}\right)$，且 $a_1=2$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{\sqrt[4]{a_1}}+\frac{1}{\sqrt[4]{a_2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{a_3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[4]{a_n}}>2 \sqrt{n+1}-2$ ．