已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $(n+3) S_n=n S_{n+1}\left(n \in \mathrm{~N}_{+}\right)$，且 $a_1=2$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求证：$\frac{1}{\sqrt[4]{a_1}}+\frac{1}{\sqrt[4]{a_2}}+\frac{1}{\sqrt[4]{a_3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[4]{a_n}}>2 \sqrt{n+1}-2$ ．