单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $i$ 为虚数单位，则 $\frac{i+1}{2+i}=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{5}-\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}+\frac{1}{5} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{5}-\frac{1}{5} \mathrm{i}$
已知 $A=|x|-3 < x \leqslant 1\left|, B=|x| x^2-3 x \geqslant 0\right|$ ，则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $(-3,1]$
$\text{B.}$ $[-3,1]$
$\text{C.}$ $[-3,0]$
$\text{D.}$ $(-3,0]$
已知在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a=2 \sqrt{3}, b=2 \sqrt{6}, B= \frac{\pi}{4}$ ．则 $A=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{6}$ 或 $\frac{5 \pi}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2 \pi}{3}$
设向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{4}$ ，且 $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=4$ ，则 $(2 \vec{a}-\vec{b}) \cdot \vec{b}=$
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ -12
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ -20
已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，满足 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{4}$
某社区有青年 100 人，老年人 100 人，为调查该社区全体居民每月客花鿏皘况，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得青年每月每化钱均值为 600 元，方登为 100 ，老年人每月零花钱均值为 400 元，方営为 100 ．若青年、老年人样本量按比例分配，则可估计总体方差为
$\text{A.}$ 11000
$\text{B.}$ 10101
$\text{C.}$ 10110
$\text{D.}$ 10100
已知正项数列 ${a_n}$ 满足 $a_n^2+3 a_n=3^n \cdot a_n+3^{n+1}$ ，则数列 ${a_n}$ 的前 4 项和 $S_4=$
$\text{A.}$ 102
$\text{B.}$ 96
$\text{C.}$ 120
$\text{D.}$ 140
已知 $m>0, n>0$ 且 $m+e^m=e, n+3^n=e$ ，则 $n \lg n$ 与 $m \lg n$ 的大小关系是
$\text{A.}$ $n \lg m < m \lg n$
$\text{B.}$ $n l g m>m l g n$
$\text{C.}$ $n \mathrm{lg} m=m \mathrm{lg} n$
$\text{D.}$ $n l g m \leqslant m l g n$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，$S$ 为其前 $n$ 项和．已知 $a_4=-5, a_{10}=7$ ．则下列结论正确的有
$\text{A.}$ 公差 $d=1$
$\text{B.}$ $a_7=1$
$\text{C.}$ $S_{13}=13$
$\text{D.}$ 当 $n=6$ 时，$S_n$ 最小
若奇函数 $f(x)(x \in \mathbf{R})$ 满足 $f\left(x-\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{3}{2}-x\right)$ ，则下列选项正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 的一个周期为 2
$\text{B.}$ $f(90.3) < f(-1.3)$
$\text{C.}$ $f\left(-\frac{1}{2}\right)=0$
$\text{D.}$ $f\left(2 x-\frac{1}{2}\right)$ 为偶函数
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $a=2, F_2(4,0)$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
$\text{B.}$ 若双曲线 $C$ 的方程：$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1, P$ 为双曲线上的一点，且 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\triangle F_1 P F_2$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ 点 $M$ 为双曲线右支上一点，且 $\left|M F_1\right|^2+a\left|M F_2\right|=18 a^2$ ．则双曲线的率心率的取值范围为 $(1,3]$
$\text{D.}$ 若过 $F_2$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直，且与渐近线交于 $A, B$ 两点，且 $\angle A F_1 F_2=\frac{\pi}{4}$ ，则双曲线的渐近线方程为 $y= \pm 2 x$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\left(x-\frac{1}{2 x}\right)^7$ 的二项展开式中含 $x^3$ 的项的系数为
函数 $f(x)=2 f^{\prime}(1) x-x^2+\mathrm{e}^x+1$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的切线方程为
如图1、在矩形纸片 $A B C D$ 中、 $A B=2 \sqrt{3} 、 A D=2, E 、 F 、 G、 H$ 分别是四边的中点．现将它通过翻折后国成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）。若折痕用虚线段连接、则这样的虚线段需要连 $\_\_\_\_$条 ）；设该四面体的体积为 $V$ ，则 $V=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(x)=2 \sin \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)+t(\omega>0)$ ，且 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\pi$ ．
（1）求函数 $f(x)$ 的单调递减区间；
（2）若 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ ，求函数 $f(x)$ 的最值及取得最值时 $x$ 的取值集合．
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F_1(-\sqrt{2}, 0), F_2(\sqrt{2}, 0)$ ，动点 $M$ 在曲线 $C$ 上，且满足 $\left|M F_1\right|+\left|M F_2\right|=4$ ．
（1）求曲线 $C$ 的标准方程：
（2）过点 $(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\triangle A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $k^2$ 的值．
如图 2，四边形 $A B C D$ 是等腰梯能，$A B / / C D, A B=A D=2, C D=4, E$ 是 $C D$ 的中点． $O$ 是 $B D$ 与 $A E$ 的交点，将 $\triangle A D E$ 沿 $A E$ 折到 $\triangle A P E$ 的位管．
（1）证明：平面 $P B C \perp$ 平面 $P O B$ ；
（2）若 $P O \perp O B$ ，求直线 $A P$ 与平面 $P B C$ 所成角的余弦值。
设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=x^2 \ln x-a x+2$ ．
（1）若曲线 $y=f(x)$ 过点 $(a, 2 \ln a)$ ，求 $a$ 的值；
（2）当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的最小值；
（3）若 $f(x)$ 恰有两个极值点，求 $a$ 的取值范围．
泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2, \cdots$ ，且 $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}, k= 0,1,2,3, \cdots$ ，其中 $\lambda>0$ ，则称 $X$ 服从泊松分布，记作 $X \sim \operatorname{Poi}(\lambda)$ ．
（1）当 $\lambda \geqslant 50$ 时，泊松分布近似于正态分布，且满足 $X \sim N(\lambda, \lambda)$ ，若 $X-P o i(400)$ ，求 $P(360 < X < 440)$ 的近似值；
（2）已知当 $n \geqslant 20,0 \leqslant p \leqslant 0.05$ 时，可以用泊松分布 $P o i(n p)$ 近似二项分布 $B(n, p)$ ，即对于 $X \sim B(n, p), Y \sim P o i(n p)$ ，当 $k$ 不太大时，有 $P(X=k) \approx P o i(Y=k)$ 。已知某快递公司共有 20000 个包裹符配送，每个包表有 0.00015 的频率出现配送延迟。试估计某天出现至少 3 起配送延迟的概率；（保留两位有效数字）
（3）若 $X \sim P o i(\lambda)$ ，且 $P(X \leqslant 1)>\frac{10}{11}$ ，求 $\lambda$ 的取值范围．
参考数据：若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \mathrm{e}^{-3} \approx 0.0498, \mathrm{e}^{0.5}=1.6500$ ，则有 $P(\mu-\sigma < X < \mu+\sigma)= 0.6827, P(\mu-2 \sigma < X < \mu+2 \sigma) \approx 0.9545, P(\mu-3 \sigma < X < \mu+3 \sigma) \approx 0.9973$.