在平面直角坐标系 $x O y$ 中，$F_1(-\sqrt{2}, 0), F_2(\sqrt{2}, 0)$ ，动点 $M$ 在曲线 $C$ 上，且满足 $\left|M F_1\right|+\left|M F_2\right|=4$ ．
（1）求曲线 $C$ 的标准方程：
（2）过点 $(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $\triangle A O B$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $k^2$ 的值．