已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$ ，则下列说法正确的是
A
若 $a=2, F_2(4,0)$ ，则双曲线 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
B
若双曲线 $C$ 的方程：$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{4}=1, P$ 为双曲线上的一点，且 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\triangle F_1 P F_2$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
C
点 $M$ 为双曲线右支上一点，且 $\left|M F_1\right|^2+a\left|M F_2\right|=18 a^2$ ．则双曲线的率心率的取值范围为 $(1,3]$
D
若过 $F_2$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直，且与渐近线交于 $A, B$ 两点，且 $\angle A F_1 F_2=\frac{\pi}{4}$ ，则双曲线的渐近线方程为 $y= \pm 2 x$
E
F