解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解答下列问题：
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，且有 $\int_0^1 f(x) d x>0$ ，试证明存在 $[\alpha, \beta] \subset[0,1]$ ，使得 $f(x)>0(x \in[\alpha, \beta])$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，$\alpha>0$ ．试对 $[a, b]$ 的任一分划 $\Delta_{:} a=x_0 < x_1 < \cdots \left\langle x_n=b\right.$ ，以及任意的插点组 $\langle\xi\rangle$ ，计算极限 $\lim _{\Delta \| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right)\left(\Delta x_i\right)^{1+\alpha}$ ．
证明题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明
$$
R(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & x \text { 是无理数，} x=0 ; \\
\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}, p \text { 与 } q \text { 是互素正整数 }
\end{array}\right. \text {（Riemann 函数）．}
$$
在 $[0,1]$ 上是可积的
设 $f \in C([0,1])$ 且 $f(x)>0(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ，则
$$
1 / \int_0^1 \frac{d x}{f(x)} \leqslant e^{\int_0^1 \ln f(x) d x} \leqslant \int_0^1 f(x) d x
$$
试证明下列不等式：
（1）设 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的下凸函数，则 $\int_a^b f(x) d x \leqslant(b-a) \frac{f(b)+f(a)}{2}$ ．
（2）（Чебышев一一切比雪夫不等式）设 $f(x), g(x)$ 是 $[a, b]$ 上的递增（或递减）函数，则有
$$
\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) d x \cdot \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) d x \leqslant \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) g(x) d x .
$$
（若 $f(x)$ 递增，$g(x)$ 递减，则不等式相反．）
（Jensen 积分不等式）设 $f \in R([0,1])$ ，且 $m \leqslant f(x) \leqslant M, x \in[0$ ， $1]$ ，又连续函数 $\varphi(x)$ 在 $[m, M]$ 上是（下）凸的，则
$$
\varphi\left[\int_0^1 f(x) d x\right] \leqslant \int_0^1 \varphi[f(x)] d x .
$$
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则
$$
\int_0^1\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| d x \geqslant \frac{1}{e}
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f^{\prime} \in R([a, b])$ ，则
$$
f(y)-f(x)|\leqslant M| y-\left.x\right|^{1 / 2}
$$
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二次可导，且有 $f(1)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，则
$$
\left|\int_0^2 f(x) d x\right| \leqslant \frac{M}{3} .
$$
试证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} d x=\frac{\pi}{2}(n=1,2, \cdots)$ ．
（Riemann－Lebesgue引理）设 $f \in R([a, b])$ ，则
$$
\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \sin \lambda x d x=0
$$
试求下列极限：
（1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \frac{1+2^{\alpha+1}+3^{\alpha+1}+\cdots+n^{\alpha+1}}{1+2^\alpha+3^\alpha+\cdots+n^\alpha}(\alpha>-1)$ ．
（2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^k+3^k+\cdots+(2 n-1)^k}{n^{k+1}}(k \geqslant 0)$ ．
（1）$I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x\left[\frac{1}{u}-\cot u\right] d u$ ．
（2）$I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\iint_0^x e^{t^2} d t\right)^{1 / x^2}$ ．
（3）$I=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x^\alpha} \int_0^x \ln \frac{P(t)}{Q(t)} d t(\alpha>1 ; P(t), Q(t)>0$ ，多项式）。
（4）$I=\lim _{x \rightarrow 0} \int_0^x\left(\int_3^{y^2} \frac{\sin t}{t} d t\right) d y / x^3$ ．
设 $f \in C^{(1)}((-\infty, \infty))$ ，且 $f(0)=0$ ，令
$$
F(x)= \begin{cases}\int_0^x t f(t) d t / x^2, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
$$
则 $F \in C^{(1)}((-\infty, \infty))$ 且 $F^{\prime}(0)=f^{\prime}(0) / 3$ 。
计算$I=\int_{-1}^2 \frac{1+x^2}{1+x^4} d x$
试证明下列命题：
（1）设 $f(x), g(x)$ 是 $[a, b]$ 上的递增连续函数，则
$$
\int_a^b f(x) d x \int_a^b g(x) d x \leqslant(b-a) \int_a^b f(x) g(x) d x .
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可微，且有 $f(0)=0,0 < f^{\prime}(x) < 1(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ，则
$$
2 \int_0^x f(t) d t / f^2(x)>1 \quad(0 < x \leqslant 1) .
$$