解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解答下列问题：
（1）设定义在 $(-\infty, \infty)$ 上的 $g(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导。又令 $f(x)=g\left(x_0+b x\right)-$ $g\left(x_0-b x\right)$ ，试求 $f^{\prime}(0)$ 。
（2）设 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且有 $f(0)=g^{\prime}(0)=0, g(0)=f^{\prime}(0)=1$ 。若对 $x \in U(0)$ 有关系
$$
f(x+h)=f(x) g(h)+f(h) g(x),
$$
试证明 $f^{\prime}(x)=g(x), x \in U(0)$ 。
（3）设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上存在且是连续函数，则存在常数 $\alpha, \beta$ ，使得函数
$$
g(x)= \begin{cases}\alpha f(-x)+\beta f(-2 x), & x < 0 \\ f(x), & x \geqslant 0\end{cases}
$$
在 $x=0$ 处可导。
设 $f^{\prime}(0)$ 存在，且对 $0 < x_n < y_n, y_n \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ．若数列 $\left\{y_n /\left(y_n-\right.\right.$ $\left.\left.x_n\right)\right\}$ 是有界列，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(y_n\right)-f\left(x_n\right)}{y_n-x_n}=f^{\prime}(0)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, \infty)$ 上可导，且 $f(a)=0$ ．若有 $f^{\prime}(x) \geqslant-f(x), x \in$ $[a, \infty)$ ，试证明 $f(x) \geqslant 0(a \leqslant x < \infty)$ 。
解答下列问题：
（1）设 $f(x)=|\ln | x| |$ ，试求 $f^{\prime}(x)(x \neq 0)$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $U\left(x_0\right)$ 上定义，且 $f\left(x_0\right)=0$ ，试证明 $F(x)=|f(x)|$ 在 $x=x_0$处可导的充分必要条件是 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 。
（3）设 $f^{\prime}\left(x_0\right), g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，且 $g\left(x_0\right)=0, g^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ ，试证明 $F(x)=f(x) \cdot$ $|g(x)|$ 在 $x=x_0$ 处可导的充分必要条件是 $f\left(x_0\right)=0$ 。
$ I=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin x-\sin a}{\sin (x-a)} \text {. }$
$I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x) e^x-f(0)}{f(x) \cos x-f(0)}\left(f^{\prime}(0) \neq 0\right)$
$I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a+\frac{1}{n}\right)^n\left(a+\frac{2}{n}\right)^n \cdots\left(a+\frac{k}{n}\right)^n / a^{n k}(k \in N ) .$
$I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{a}{n^2}\right)\left(1+\frac{2 a}{n^2}\right) \cdots\left(1+\frac{n a}{n^2}\right) \quad(a>0) .$
解答下列问题：
（1）求曲线 $y=3 x^3+14 x^2+3 x+8$ 上的点，使其上之切线通过原点．
（2）求曲线 $y=x^3-3 x^2+2$ 上的点，使其上之切线平行于直线 $y=9 x+4$ ．
（3）求曲线 $y=x^2$ 与曲线 $y=1 / x$ 之公切线。
解答下列问题：
（1）设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^2+2 t, \\ y=\ln (1+t)\end{array}\right.$ 确定，试求其在 $x=3$ 处的法线方程．
（2）设函数 $y=f(x)$ 的动点坐标 $(x, y)$ 在极坐标 $(r, \theta)$ 中表示为
$$
r=a(1+\cos \theta), \quad \theta \in(0,2 \pi / 3),
$$
试求 $f^{\prime}(x)$ ．
求由下列函数方程确定的隐函数 $y(x)$ 的导数 $y^{\prime}(x)$ ：
（1）$y^2+2 \ln y=x^4$ ．
（2）$x^y=y^x(x>0, y>0)$ 。
（3）$x^2-4 x y+4 y^2+4 x-3 y-7=0(x < 2 y-1)$ ．
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right)^2=3 x^2 y-y^3$ 确定的隐函数（严格的说，$y(x)$ 并不是一般意义上的单值函数），求在 $x=0, y=0$ 处的 $\frac{ d y}{d x}$ ．
试解答下列问题：
（1）试问对什么 $x$ 值，函数 $y=f(x)=\cos x$ 在 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，其微分 $d y$ 与差分 $\Delta y=\Delta f(x)$ 不等价？
（2）设 $y=x^3-3 x$ ，试问当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$\Delta y- d y$ 是 $\Delta x$ 的几阶无穷小？
设 $y=f[g(x)]$ ，求 $y^{\prime \prime \prime}$ 。
求下列 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数：
（1）$f(x)=\frac{a x+b}{c x+d}(c \neq 0)$ ．
（2）$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-2 x}}$ ．
设 $y=f(x)=\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)^m$ ，试证明
（1）$\left(1+x^2\right) y^{\prime \prime}+x y^{\prime}=m^2 y$ ．
（2）$\left(1+x^2\right) y^{(n+2)}+(2 n+1) x y^{(n+1)}+\left(n^2-m^2\right) y^{(n)}=0$ ，并由此求出 $f^{(n)}(0)$ 。
设 $y=x^n e ^x$ ，求 $d ^n y$ ．