解答下列问题：
（1）设定义在 $(-\infty, \infty)$ 上的 $g(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导。又令 $f(x)=g\left(x_0+b x\right)-$ $g\left(x_0-b x\right)$ ，试求 $f^{\prime}(0)$ 。
（2）设 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且有 $f(0)=g^{\prime}(0)=0, g(0)=f^{\prime}(0)=1$ 。若对 $x \in U(0)$ 有关系

$$
f(x+h)=f(x) g(h)+f(h) g(x),
$$


试证明 $f^{\prime}(x)=g(x), x \in U(0)$ 。
（3）设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上存在且是连续函数，则存在常数 $\alpha, \beta$ ，使得函数

$$
g(x)= \begin{cases}\alpha f(-x)+\beta f(-2 x), & x < 0 \\ f(x), & x \geqslant 0\end{cases}
$$


在 $x=0$ 处可导。