单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(1,-1)$ ，若 $(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \perp(\vec{a}+\mu \vec{b})$ ，则（ ）
$\text{A.}$ $\lambda+\mu=1$
$\text{B.}$ $\lambda+\mu=-1$
$\text{C.}$ $\lambda \mu=1$
$\text{D.}$ $\lambda \mu=-1$
已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(2,2)$ ，则 $\cos \langle\vec{a}+\vec{b}, \vec{a}-\vec{b}\rangle=$（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{17}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{17}}{17}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=\sqrt{3},|\vec{a}-2 \vec{b}|=3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}=(\quad)$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，则在下列向量中，与 $\vec{b}$ 垂直的是（ ）
$\text{A.}$ $\vec{a}+2 \vec{b}$
$\text{B.}$ $2 \vec{a}+\vec{b}$
$\text{C.}$ $\vec{a}-2 \vec{b}$
$\text{D.}$ $2 \vec{a}-\vec{b}$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=5,|\vec{b}|=6, \vec{a} \cdot \vec{b}=-6$ ，则 $\cos \langle\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}\rangle=$（）
$\text{A.}$ $-\frac{31}{35}$
$\text{B.}$ $-\frac{19}{35}$
$\text{C.}$ $\frac{17}{35}$
$\text{D.}$ $\frac{19}{35}$
已知 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-12 \sqrt{2},|\boldsymbol{a}|=4, \boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $135^{\circ}$ ，则 $|\boldsymbol{b}|$ 的值为（）
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ $3 \sqrt{3}$
$\text{D.}$ 3
已知 $\boldsymbol{a}=(-2,1), \boldsymbol{b}=(k,-3), \boldsymbol{c}=(1,2)$ ，若 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{2} \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{c}$ ，则与 $\boldsymbol{b}$ 共线的单位向量为（ ）
$\text{A.}$ $\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$ 或 $\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$
$\text{B.}$ $\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$ 或 $\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$
$\text{D.}$ $\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,(\vec{a}-\vec{b}) \cdot(\vec{a}+3 \vec{b})=-13$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
已知 $|\vec{a}|=\sqrt{2},|\vec{b}|=4$ ，当 $\vec{b} \perp(4 \vec{a}-\vec{b})$ 时，向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(0, m), \vec{c}=(2,4)$ ，且 $(\vec{a}-\vec{b}) \perp \vec{c}$ ，则实数 $m$ 的值为（ ）
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
在 $\triangle AB C$ 中， $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=9, A B=3$ ，点 $E$ 满足 $\overrightarrow{A E}=2 \overrightarrow{E C}$ ，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B E}=(\quad)$
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ -3
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 6
已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $|2 \vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3}$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=2$ ，且 $\vec{a}-\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影的数量为 $2+\sqrt{3}$ ，则 $\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足：$|\vec{a}+2 \vec{b}|=|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{7}|\vec{a}|$ ，则 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角 $\theta$ 的值为（ ）
$\text{A.}$ $45^{\circ}$
$\text{B.}$ $60^{\circ}$
$\text{C.}$ $90^{\circ}$
$\text{D.}$ $120^{\circ}$
已知 $\triangle A B C$ 是边长为 1 的等边三角形，点 $D, E$ 分别是边 $A B, B C$ 的中点，且 $\overrightarrow{D E}=3 \overrightarrow{E F}$ ，则 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{12}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{12}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -8
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知向量 $\boldsymbol{a}=(3,-1), \boldsymbol{b}=(1,-2)$ ，则下列结论中正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=5$
$\text{B.}$ $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{5}$
$\text{C.}$ $\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{4}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$
$\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow{A B}=\vec{c}, \overrightarrow{B C}=\vec{a}, \overrightarrow{C A}=\vec{b}$ ，在下列命题中，是真命题的有（）
$\text{A.}$ 若 $\vec{a}[\vec{b}>0$ ，则 $\triangle A B C$ 为锐角三角形
$\text{B.}$ 若 $\vec{a} \vec{b}=0$ ．则 $\triangle A B C$ 为直角三角形
$\text{C.}$ 若 $\vec{a} \vec{b}=\vec{c} \vec{b}$ ，则 $\triangle A B C$ 为等腰三角形
$\text{D.}$ 若 $(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})(\vec{a}+\vec{b}-\vec{c})=0$ ，则 $\triangle A B C$ 为直角三角形
已知平面向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(1,2 \sqrt{3})$ ，则下列说法正确的是（ ）
$\text{A.}$ $|\vec{a}+\vec{b}|=16$
$\text{B.}$ $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{a}=2$
$\text{C.}$ 向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $30^{\circ}$
$\text{D.}$ 向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$
若 $A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 是 $\triangle A O B$ 所在的平面内的点，且 $\overrightarrow{O A_{l}} \cdot \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 下面给出的四个命题中，其中正确的是
$\text{A.}$ $\left|\overrightarrow{O A_{1}}\right|+\left|\overrightarrow{O A_{2}}\right|+\cdots+\left|\overrightarrow{O A_{n}}\right|=|\overrightarrow{O A}|$
$\text{B.}$ $\overrightarrow{A A_{l}} \cdot \overrightarrow{O B}=0$
$\text{C.}$ 点 $A 、 A_{1} 、 A_{2} \ldots A_{n}$ 一定在一条直线上
$\text{D.}$ $\overrightarrow{O A} 、 \overrightarrow{O A_{l}}$ 在向量 $\overrightarrow{O B}$ 方向上的投影一定相等
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{3},|\vec{a}+\vec{b}|=|2 \vec{a}-\vec{b}|$ ，则 $|\vec{b}|=$ $\qquad$ ．
已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 为单位向量，若 $|\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}|=\sqrt{5}$ ，则 $|\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}|=$
已知 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1, \sqrt{2})$ ，则向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\qquad$ ．
若非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=\frac{2 \sqrt{2}}{3}|\boldsymbol{b}|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp(3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\qquad$ ．
已知向量 $\boldsymbol{a}=(k, 3), \boldsymbol{b}=(1,4), \boldsymbol{c}=(2,1)$ ，若 $2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角为针角，则 $k$ 的取值范围是 $\qquad$ ．
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$A D \perp A B, \overrightarrow{B C}=\sqrt{3} \overrightarrow{B D},|\overrightarrow{A D}|=1$ ，则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}=$ $\qquad$ ．
在 $\triangle A B C$ 中，$\angle B A D=60^{\circ}, \overrightarrow{B C}=\sqrt{3} \overrightarrow{B D},|\overrightarrow{A D}|=1, \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}=1$ ，则 $|\overrightarrow{A B}|=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知平面向量 $\boldsymbol{a}=(1, x), \boldsymbol{b}=(2 x+3,-x), x \in \mathbf{R}$ ．
（1）若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，求 $x$ 的值；
（2）若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ，求 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的值．