单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x>0$ 时,曲线 $y=x \sin \frac{1}{x} $ （ ）
$\text{A.}$ 有且仅有水平渐近线.
$\text{B.}$ 有且仅有铅直渐近线.
$\text{C.}$ 既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.
$\text{D.}$ 既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.
已知曲面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$.
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$.
$\text{C.}$ $(1,1,2)$.
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$.
设线性无关的函数 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 都是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的解, $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数, 则该非齐次方程的通解是 ( )
$\text{A.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}+y_{3}$.
$\text{B.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}-\left(C_{1}+C_{2}\right) y_{3}$.
$\text{C.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}-\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$.
$\text{D.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}+\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$.
设函数 $f(x)=x^{2}, 0 \leqslant x \leqslant 1$, 而
$$
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $b_{n}=2 \int_{0}^{1} f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2,3, \cdots$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵,且 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=0$,则 $\boldsymbol{A}$ 中 $(\quad)$
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0 .
$\text{B.}$ 必有两列元素对应成比例
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合.
$\text{D.}$ 任一列向量是其余列向量的线性组合.
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f^{\prime}(3)=2$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{2 h}=$
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=$
设平面曲线 $L$ 为下半圆 $y=-\sqrt{1-x^{2}}$, 则曲线积分 $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=$
向量场 $\boldsymbol{u}(x, y, z)=x y^{2} \boldsymbol{i}+y \mathrm{e}^{z} \boldsymbol{j}+x \ln \left(1+z^{2}\right) \boldsymbol{k}$ 在点 $P(1,1,0)$ 处的散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{u}=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则逆矩阵 $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})^{-1}=$
已知随机事件 $A$ 的概率 $P(A)=0.5$, 随机事件 $B$ 的概率 $P(B)=0.6$ 及条件概率 $P(B \mid A)=$ $0.8$, 则和事件 $A \cup B$ 的概率 $P(A \cup B)=$
甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 $0.6$ 和 $0.5$. 现已知目标被命中,则它 是甲射中的概率为
若随机变量 $\xi$ 在 $(1,6)$ 上服从均匀分布, 则方程 $x^{2}+\xi x+1=0$ 有实根的概率是
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f(2 x-y)+g(x, x y)$, 其中函数 $f(t)$ 二阶可导, $g(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设曲线积分 $\int_{C} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 其中 $\varphi(x)$ 具有连续的导数, 且 $\varphi(0)=0$. 计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 的值.
计算三重积分 $\iint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} v$, 其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成的区域.
将函数 $f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$ 展开为 $x$ 的幕级数.
设 $f(x)=\sin x-\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 其中 $f$ 为连续函数, 求 $f(x)$.
证明: 方程 $\ln x=\frac{x}{\mathrm{e}}-\int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有且仅有两个不同实根.
假设 $\lambda$ 为 $n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值,证明：
(1) $\frac{1}{\lambda}$ 为 $A^{-1}$ 的特征值;
(2) $\frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{A}^{*}$ 的特征值.
设半径为 $R$ 的球面 $\Sigma$ 的球心在定球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 上, 问当 $R$ 取何值时, 球面 $\Sigma$ 在定 球面内部的那部分的面积最大?
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立, 且 $X$ 服从均值为 1 、标准差 (均方差) 为 $\sqrt{2}$ 的正态分布, 而 $Y$ 服从标准正态 分布. 试求随机变量 $Z=2 X-Y+3$ 的概率密度函数.
设空间区域 $\Omega$ 由曲面 $z=a^2-x^2-y^2$ 与平面 $z=0$围成，其中 $a$ 为正的常数，记 $\Omega$ 表面的外侧为 $S ， \Omega$ 的体积为 $V$ ，求证:
$$
\oint_S x^2 y z^2 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x y^2 z^2 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z(1+x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=V
$$
问 $\lambda$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+x_3=\lambda \\
4 x_1+x_2+2 x_3=\lambda+2 \\
6 x_1+x_2+4 x_3=2 \lambda+3
\end{array}\right.
$$
有解，并求出解的一般形式
求八分之一球面 $x^2+y^2+z^2=R^2, x \geq 0, y \geq 0$, $z \geq 0$ 的边界曲线的重心，设曲线的线密度 $\rho=1$