1989年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

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1989年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 当

x > 0

时,曲线

y = x \sin \frac{1}{x}

（　　）

A.

有且仅有水平渐近线.

B.

有且仅有铅直渐近线.

C.

既有水平渐近线, 也有铅直渐近线.

D.

既无水平渐近线, 也无铅直渐近线.

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2. 已知曲面

z = 4 - x^{2} - y^{2}

上点

P

处的切平面平行于平面

2 x + 2 y + z - 1 = 0

, 则点

P

的坐标是

A.

(1, - 1, 2)

B.

(- 1, 1, 2)

C.

(1, 1, 2)

D.

(- 1, - 1, 2)

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3. 设线性无关的函数

y_{1}, y_{2}, y_{3}

都是二阶非齐次线性方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)

的解,

C_{1}, C_{2}

是任意常数, 则该非齐次方程的通解是 ( )

A.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + y_{3}

B.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (C_{1} + C_{2}) y_{3}

C.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

D.

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

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4. 设函数

f (x) = x^{2}, 0 ⩽ x ⩽ 1

, 而

S (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin n π x, - \infty < x < + \infty,

其中

b_{n} = 2 \int_{0}^{1} f (x) \sin n π x d x, n = 1, 2, 3, \dots

, 则

S (- \frac{1}{2})

等于

A.

- \frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{4}

C.

\frac{1}{4}

D.

\frac{1}{2}

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5. 设

A

是

n

阶矩阵,且

A

的行列式

| A | = 0

,则

A

中

()

A.

必有一列元素全为 0 .

B.

必有两列元素对应成比例

C.

必有一列向量是其余列向量的线性组合.

D.

任一列向量是其余列向量的线性组合.

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 已知

f^{'} (3) = 2

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (3 - h) - f (3)}{2 h} =

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7. 设

f (x)

是连续函数, 且

f (x) = x + 2 \int_{0}^{1} f (t) d t

, 则

f (x) =

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8. 设平面曲线

L

为下半圆

y = - \sqrt{1 - x^{2}}

, 则曲线积分

\int_{L} (x^{2} + y^{2}) d s =

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9. 向量场

u (x, y, z) = x y^{2} i + y e^{z} j + x \ln (1 + z^{2}) k

在点

P (1, 1, 0)

处的散度

div u =

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10. 设矩阵

A = (\begin{array}{lll} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}), E = (\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

, 则逆矩阵

(A - 2 E)^{- 1} =

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11. 已知随机事件

A

的概率

P (A) = 0.5

, 随机事件

B

的概率

P (B) = 0.6

及条件概率

P (B ∣ A) =

0.8

, 则和事件

A \cup B

的概率

P (A \cup B) =

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12. 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为

0.6

和

0.5

. 现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为

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13. 若随机变量

ξ

在

(1, 6)

上服从均匀分布, 则方程

x^{2} + ξ x + 1 = 0

有实根的概率是

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三、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 设

z = f (2 x - y) + g (x, x y)

, 其中函数

f (t)

二阶可导,

g (u, v)

具有连续的二阶偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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15. 设曲线积分

\int_{C} x y^{2} d x + y φ (x) d y

与路径无关, 其中

φ (x)

具有连续的导数, 且

φ (0) = 0

. 计算

\int_{(0, 0)}^{(1, 1)} x y^{2} d x + y φ (x) d y

的值.

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16. 计算三重积分

\iint_{Ω} (x + z) d v

, 其中

Ω

是由曲面

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

与

z = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}

所围成的区域.

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17. 将函数

f (x) = \arctan \frac{1 + x}{1 - x}

展开为

x

的幕级数.

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18. 设

f (x) = \sin x - \int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t

, 其中

f

为连续函数, 求

f (x)

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19. 证明: 方程

\ln x = \frac{x}{e} - \int_{0}^{π} \sqrt{1 - \cos 2 x} d x

在区间

(0, + \infty)

内有且仅有两个不同实根.

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20. 假设

λ

为

n

阶可逆矩阵

A

的一个特征值,证明：
(1)

\frac{1}{λ}

为

A^{- 1}

的特征值;
(2)

\frac{| A |}{λ}

为

A

的伴随矩阵

A^{*}

的特征值.

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21. 设半径为

R

的球面

Σ

的球心在定球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (a > 0)

上, 问当

R

取何值时, 球面

Σ

在定球面内部的那部分的面积最大?

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22. 设随机变量

X

与

Y

独立, 且

X

服从均值为 1 、标准差 (均方差) 为

\sqrt{2}

的正态分布, 而

Y

服从标准正态分布. 试求随机变量

Z = 2 X - Y + 3

的概率密度函数.

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23. 设空间区域

Ω

由曲面

z = a^{2} - x^{2} - y^{2}

与平面

z = 0

围成，其中

a

为正的常数，记

Ω

表面的外侧为

S ， Ω

的体积为

V

，求证:

\oint_{S} x^{2} y z^{2} d y d z - x y^{2} z^{2} d z d x + z (1 + x y z) d x d y = V

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24. 问

λ

为何值时，线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{3} = λ \\ 4 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = λ + 2 \\ 6 x_{1} + x_{2} + 4 x_{3} = 2 λ + 3 \end{cases}

有解，并求出解的一般形式

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25. 求八分之一球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}, x \geq 0, y \geq 0

z \geq 0

的边界曲线的重心，设曲线的线密度

ρ = 1

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