单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
有理数 -2024 的相反数是（）
$\text{A.}$ -2024
$\text{B.}$ 2024
$\text{C.}$ $\frac{1}{2024}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2024}$
下列运算正确的是（）
$\text{A.}$ $\left(a^2\right)^3=a^5$
$\text{B.}$ $3 a^{-1}=\frac{1}{3 a}(a \neq 0)$
$\text{C.}$ $-x \cdot(-x)^3 \cdot\left(-x^2\right)=-x^6$
$\text{D.}$ $3 a^2+a=3 a^3$
如果 $x-2$ 是 $a x^2-b x+2$ 的一个因式，则 $2 a-b$ 的值是（）
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 1
若函数 $y=a x$ 和函数 $y=-x+2$ 的图像如图所示，其交点为 $M(x, 1)$ ，则关于 $x$ 的不等式 $a x \geq-x+2$的解集是
$\text{A.}$ $x>1$
$\text{B.}$ $x \geq 1$
$\text{C.}$ $x < 1$
$\text{D.}$ $x \leq 1$
根据下列条件，不能画出唯一确定的 $\triangle A B C$ 的是
$\text{A.}$ $A B=3, B C=4, A C=6$
$\text{B.}$ $A B=4, \angle B=45^{\circ}, \angle A=60^{\circ}$
$\text{C.}$ $A B=4, B C=3, \angle A=30^{\circ}$
$\text{D.}$ $\angle C=90^{\circ}, A B=8, A C=4$
美术课上，周老师将如图所示的多边形分成了 $A, B, C$ 三个区域，现需要用＂红色＂＂黄色＂＂蓝色＂三种颜色给这三个区域染色制作图案．染色需同时满足以下要求：（1）同一区域用同一种颜色染色：（2）相邻区域不能用同一种颜色染色：（3）每一个区域都需要染色．则 $A$ 区被染色成＂蓝色＂的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$
如图，将正五边形沿 $B F$ 折叠，若 $\angle 1=18^{\circ}$ ，则 $\angle 2$ 的度数为
$\text{A.}$ $96^{\circ}$
$\text{B.}$ $97^{\circ}$
$\text{C.}$ $98^{\circ}$
$\text{D.}$ $99^{\circ}$
已知抛物线 $y=a x^2-4 x-5 a$ 上有三点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right), C(0,-5)$ ，其中 $x_1 < -1 < x_2 < 5$ ，有下列结论：（1）$y_1 < y_2$ ；（2）抛物线的顶点坐标为 $(2,-8)$ ；（3）当 $x>2$ 时，$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大；（4）此抛物线向上平移 5 个单位长度后与坐标轴有 2 个交点．其中，正确的结论有（ ）
$\text{A.}$ 4 个
$\text{B.}$ 3 个
$\text{C.}$ 2 个
$\text{D.}$ 1 个
如图，在矩形 $A B C D$ 中，$A B=10, A D=6$ ，点 $E$ 是 $A B$ 边上一动点（点 $E$ 不与点 $A$ 重合），过点 $D$ 作 $D F \perp D E$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，以 $D E, D F$ 为邻边作矩形 $D E G F, G E$ 交 $B C$ 于点 $H$ ，连接 $B G$ ，则下列结论：（1）$\frac{D F}{D E}=\frac{5}{3}$ ；（2）当点 $G$ 恰好落在 $D C$ 的延长线上时，$D E=B G$ ；（3）当点 $E$ 在 $A B$ 边上运动时， $\tan \angle F B G$ 为定值 $\frac{3}{5}$ ；（4）当点 $E$ 在 $A B$ 边上运动时，$B H$ 长度的最大值为 $\frac{25}{6}$ ．其中正确结论的个数是
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
《孙子算经》中记载：＂凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．＂说明了大数之间的关系： 1亿 $=1$ 万 $\times 1$ 万， 1 兆 $=1$ 万 $\times 1$ 万 $\times 1$ 亿，那么 2 兆 $=$ $\qquad$ ．（用科学记数法表示）
若 $3 a b-3 b^2-5=0$ ，则代数式 $\left(1-\frac{2 a b-b^2}{a^2}\right) \div \frac{a-b}{a^2 b}$ 的值为 $\qquad$ ．
若关于 $x$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}-1 \leq \frac{x+1}{3} \\ 5 x-2>3 x+a\end{array}\right.$ 有解且至多有两个偶数解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a}{y-2}-\frac{y-12}{2-y}=4$ 的解为非负整数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和是 $\qquad$ ．
在信息科技课上，小华同学利用几何画板的迷你坐标系绘制了反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x < 0)$ 的图象，并打印了出来，善于思考的小华同学把自己的一张矩形卡纸 $A B O D$ 绕着原点 $O$ 旋转，当旋转至如图所示位置时，点 A 恰好落在反比例函数的图象上，$O D$ 边与反比例函数图象交于点 $C, A B$ 边与 $x$ 轴交于点 $E, D(-4,8)$ 且 $C D=\frac{1}{4} O D$ ．
（1）$k$ 的值为
（2）$\frac{A E}{B E}$ 的值为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算：$(\pi-1)^0+9 \tan 30^{\circ}-\sqrt{27}+|-3|-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ ．
产于河南禹州的冬桃肉质细淢，甘甜多汁，因其成熟期较晚，正好填补了冬季无鲜果的空白，深受市场青睐．果农小王采摘了 320 千克的冬桃进行线上和线下销售，其中线下以 10 元／千克的标价销售，线上以线下标价的七折销售，全部售完后，销售额为 2600 元。
（1）求线下和线上销售的冬桃数量．
（2）小王又采摘了 450 千克的冬桃进行线上和线下销售且售价不变，若线下销售冬桃的数量不超过线上销售冬桃数量的一半，且使售完这批冬桃后销售额最大，应如何对这批冬桃进行销售？
很多代数公式都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式，完全平方公式等。
【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法计算： $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=$ ？
【规律探究】观察下面表示几何图形面积的方法：
【解决问题】请用上面表示几何图形面积的方法写出 $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=$ $\qquad$ $=$ $\qquad$ （用含 $n$的代数式表示）；
【拓展应用】根据以上结论，计算： $2^3+4^3+6^3+\cdots+(2 n)^3$ 的结果为 $\qquad$ ．
如图，$\triangle A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A(-1,1), ~ B(-4,2), ~ C(-3,4)$ ．
（1）请画出将 $\triangle A B C$ 向右平移 4 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后得到的图形 $\triangle A_1 B_1 C_1$ ，则点 $A_1$ 的坐标为 $\qquad$ ；
（2）请画出 $\triangle A B C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 的图形 $\triangle A_2 B_2 C_2$ ，则点 $B_2$ 的坐标为 $\qquad$ ；
（3）在（2）的旋转过程中，点 $C$ 运动的路径长为 $\qquad$ （结果保留 $\pi$ ）
如图，$A B, ~ A C$ 分别是 $\odot O$ 的直径和弦，$O D \perp A C$ 于点 $D$ ．过点 $A$ 作 $\odot O$ 的切线与 $O D$ 的延长线交于点 $P, P C, ~ A B$ 的延长线交于点 $F$ ．
（1）求证：$P C$ 是 $\odot O$ 的切线；
（2）若 $\angle A B C=60^{\circ}, A B=10$ ，求线段 $C F$ 的长．
拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形 $B C D E$ ， $B C$ 的长度为 60 cm ，两节可调节的拉杆长度相等，且与 $B C$ 在同一条直线上．如图 1 ，当拉杆伸出一节 $(A B)$ 时，$A C$ 与地面夹角 $\angle A C G=53^{\circ}$ ；如图 2，当拉杆伸出两节（ $A M, M B$ ）时，$A C$ 与地面夹角 $\angle A C G=37^{\circ}$ ，已知两种情况下拉杆把手 A 点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就＂你最喜欢的化学实验是什么＂进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：$A$ ．高锰酸钾制取氧气；$B$ ．电解水；$C$ ．木炭还原氧化铜；$D$ ．一氧化碳还原氧化铜；$E$ ．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）$a=$ $\qquad$ ，$E$ 所对应的扇形圆心角是 $\qquad$ $\circ$ ；
（2）请你根据调查结果，估计该校九年级 800 名学生中有人最喜欢的实验是＂$D$ ．一氧化碳还原氧化铜＂；
（3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，$C, ~ D, ~ E$ 三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率．
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 $A B C$ 和 $B D E$ 中， $\angle A C B=\angle B D E=90^{\circ}, B C=B D=6, A C=D E=8$ ，旋转角为 $\alpha\left(0^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}\right)$ ．
【初步感知】
（1）如图 1，将三角形纸片 $B D E$ 绕点 $B$ 旋转，连接 $A E, C D$ ，求 $\frac{A E}{C D}$ 的值；
【深入探究】
（2）如图 2，在三角形纸片 $B D E$ 绕点 $B$ 旋转过程中，当点 $D$ 恰好落在 $\triangle A B C$ 的中线 $C F$ 的延长线上时，延长 $E D$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，求 $A G$ 的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片 $B D E$ 绕点 $B$ 旋转过程中，试探究 $A, D, E$ 三点，能否构成以 $A E$ 为直角边的直角三角形．若能，求线段 $A D$ 的长度；若不能，请说明理由．
点 $A, ~ B, ~ C$ 的坐标为分别 $(-1,0),(5,0),(4,-5)$ ，抛物线经过这三点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）若点 $D\left(t, y_1\right), E\left(t+4, y_2\right)$ 是抛物线上的两个动点，且点 $D$ 在直线 $A C$ 下方．
① 如图 1，过 $D$ 点作 $x$ 轴的垂线 $D G$ ，垂足为 $G$ ，交直线 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $D E, E F, C G$ ，猜想 $S_{\triangle D E F}$ 与 $S_{\triangle C F G}$ 的数量关系，并说明理由；
② 如图 2，点 $M$ 在直线 $D E$ 上，且横坐标为 $t+1$ ，过点 $M$ 作 $M N \perp x$ 轴于点 $N$ ，求线段 $M N$长度的最大值．