单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设常数 $k>0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{k+n}{n^{2}}$ = （ ）
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 条件收敛.
$\text{D.}$ 收敛或发散与 $k$ 的取值有关.
设 $f(x)$ 为已知连续函数, $I=t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f(t x) \mathrm{d} x$, 其中 $t>0, s>0$, 则 $I$ 的值 ( )
$\text{A.}$ 依赖于 $s$ 和 $t$.
$\text{B.}$ 依赖于 $s, t, x$.
$\text{C.}$ 依赖于 $t$ 和 $x$, 不依赖于 $s$.
$\text{D.}$ 依赖于 $s$, 不依赖于 $t$.
设 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^{2}}=-1$, 则在 $x=a$ 处 （ ）
$\text{A.}$ $f(x)$ 的导数存在, 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$.
$\text{B.}$ $f(x)$ 取得极大值.
$\text{C.}$ $f(x)$ 取得极小值.
$\text{D.}$ $f(x)$ 的导数不存在.
设 ${A}$ 为 $n$ 阶方阵,且 ${A}$ 的行列式 $|{A}|=a \neq 0$, 而 ${A}^{*}$ 是 ${A}$ 的伴随矩阵, 则 $\left|{A}^{*}\right|$ 等于
$\text{A.}$ $a$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}$.
$\text{C.}$ $a^{n-1}$.
$\text{D.}$ $a^{n}$.
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
与两直线 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=-1+t \\ z=2+t\end{array}\right.$ 及 $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$ 都平行, 且过原点的平面方程为
当 $x=$ （ ） 时, 函数 $y=x 2^{x}$ 取得极小值.
由曲线 $y=\ln x$ 与两直线 $y=(\mathrm{e}+1)-x$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形的面积是
设 $L$ 为取正向的圆周 $x^{2}+y^{2}=9$, 则曲线积分 $\oint_{L}(2 x y-2 y) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-4 x\right) \mathrm{d} y$ 的值是
已知 3 维线性空间的一组基底为 ${\alpha}_{1}=(1,1,0), {\alpha}_{2}=(1,0,1), {\alpha}_{3}=(0,1,1)$, 则向量 ${\beta}=$ $(2,0,0)$ 在上述基底下的坐标是
设在一次试验中, 事件 $A$ 发生的概率为 $p$. 现进行 $n$ 次独立试验, 则 $A$ 至少发生一次的概率为 ; 而事件 $A$ 至多发生一次的概率为 （ ） ，而事件 $A$ 至多发生一次的概率为 （ ）
三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 $\qquad$已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为
已知连续型随机变量 ${X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2+2 x-1}
$$
则 $E X=$ $\qquad$ , $D X=$ $\qquad$
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求正常数 $a$ 与 $b$, 使等式 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a+t^{2}}} \mathrm{~d} t=1$ 成立.
(1) 设 $f, g$ 为连续可微函数, $u=f(x, x y), v=g(x+x y)$, 求 $\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$.
(2) 设矩阵 ${A}$ 和 ${B}$ 满足关系式 ${A B}={A}+2 {B}$, 其中 ${A}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4\end{array}\right)$, 求矩阵 ${B}$.
求微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+6 y^{\prime \prime}+\left(9+a^{2}\right) y^{\prime}=1$ 的通解, 其中常数 $a>0$.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} x^{n-1}$ 的收敛域, 并求其和函数.
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\Sigma$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}, \\ x=0,\end{array}(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面, 它的法向量与 $y$ 轴正向的 夹角恒大于 $\frac{\pi}{2}$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上可微, 对于 $[0,1]$ 上的每一个 $x$, 函数 $f(x)$ 的值都在开区间 $(0,1)$ 内, 且 $f^{\prime}(x) \neq 1$. 证明: 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个 $x$, 使 $f(x)=x$.
问 $a, b$ 为何值时, 线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \\
x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=1, \\
-x_{2}+(a-3) x_{3}-2 x_{4}=b, \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+a x_{4}=-1
\end{array}\right.
$$
有唯一解, 无解, 有无穷多组解? 并求出有无穷多组解时的通解.
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 其概率密度函数分别为
$$
f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{cc}
1, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array} \quad f_{Y}(y)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-y}, & y>0, \\
0, & y \leqslant 0 .\end{cases}\right.
$$
求随机变量 $Z=2 X+Y$ 的概率密度函数$f_z(z)$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $\boldsymbol{n}$ 阶矩阵， $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值， $x_1, x_2$ 是分别属于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的特征向量. 试证明 $x_1+x_2$ 不是 $A$ 的特征向量.
计算定积分 $\int_{-2}^2(|x|+x) e^{-|x|} \mathrm{d} x$.
设函数 $z=f(u, x, y), u=x e^y$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.