1987年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

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1987年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数一)

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 设常数

k > 0

, 则级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{k + n}{n^{2}}

= （　　）

A.

发散.

B.

绝对收敛.

C.

条件收敛.

D.

收敛或发散与

k

的取值有关.

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2. 设

f (x)

为已知连续函数,

I = t \int_{0}^{\frac{s}{t}} f (t x) d x

, 其中

t > 0, s > 0

, 则

I

的值 ( )

A.

依赖于

s

和

t

B.

依赖于

s, t, x

C.

依赖于

t

和

x

, 不依赖于

s

D.

依赖于

s

, 不依赖于

t

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3. 设

lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{(x - a)^{2}} = - 1

, 则在

x = a

处（　　）

A.

f (x)

的导数存在, 且

f^{'} (a) \neq 0

B.

f (x)

取得极大值.

C.

f (x)

取得极小值.

D.

f (x)

的导数不存在.

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4. 设

A

为

n

阶方阵,且

A

的行列式

| A | = a \neq 0

, 而

A^{*}

是

A

的伴随矩阵, 则

| A^{*} |

等于

A.

a

B.

\frac{1}{a}

C.

a^{n - 1}

D.

a^{n}

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 与两直线

{\begin{cases} x = 1, \\ y = - 1 + t \\ z = 2 + t \end{cases}

及

\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}

都平行, 且过原点的平面方程为

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6. 当

x =

（　　）时, 函数

y = x 2^{x}

取得极小值.

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7. 由曲线

y = \ln x

与两直线

y = (e + 1) - x

及

y = 0

所围成的平面图形的面积是

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8. 设

L

为取正向的圆周

x^{2} + y^{2} = 9

, 则曲线积分

\oint_{L} (2 x y - 2 y) d x + (x^{2} - 4 x) d y

的值是

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9. 已知 3 维线性空间的一组基底为

α_{1} = (1, 1, 0), α_{2} = (1, 0, 1), α_{3} = (0, 1, 1)

, 则向量

β =

(2, 0, 0)

在上述基底下的坐标是

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10. 设在一次试验中, 事件

A

发生的概率为

p

. 现进行

n

次独立试验, 则

A

至少发生一次的概率为 ; 而事件

A

至多发生一次的概率为（　　），而事件

A

至多发生一次的概率为（　　）

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11. 三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球.现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为

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12. 已知连续型随机变量

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{\sqrt{π}} e^{- x^{2} + 2 x - 1}

则

E X =

D X =

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 求正常数

a

与

b

, 使等式

lim_{x \to 0} \frac{1}{b x - \sin x} \int_{0}^{x} \frac{t^{2}}{\sqrt{a + t^{2}}} d t = 1

成立.

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14. (1) 设

f, g

为连续可微函数,

u = f (x, x y), v = g (x + x y)

, 求

\frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}

.
(2) 设矩阵

A

和

B

满足关系式

A B = A + 2 B

, 其中

A = (\begin{array}{lll} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{array})

, 求矩阵

B

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15. 求微分方程

y^{'''} + 6 y^{''} + (9 + a^{2}) y^{'} = 1

的通解, 其中常数

a > 0

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16. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n}} x^{n - 1}

的收敛域, 并求其和函数.

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17. 计算曲面积分

I = \iint_{Σ} x (8 y + 1) d y d z + 2 (1 - y^{2}) d z d x - 4 y z d x d y,

其中

Σ

是由曲线

{\begin{cases} z = \sqrt{y - 1}, \\ x = 0, \end{cases} (1 ⩽ y ⩽ 3)

绕

y

轴旋转一周所成的曲面, 它的法向量与

y

轴正向的夹角恒大于

\frac{π}{2}

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18. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 1]

上可微, 对于

[0, 1]

上的每一个

x

, 函数

f (x)

的值都在开区间

(0, 1)

内, 且

f^{'} (x) \neq 1

. 证明: 在

(0, 1)

内有且仅有一个

x

, 使

f (x) = x

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19. 问

a, b

为何值时, 线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, \\ x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 1, \\ - x_{2} + (a - 3) x_{3} - 2 x_{4} = b, \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + a x_{4} = - 1 \end{cases}

有唯一解, 无解, 有无穷多组解? 并求出有无穷多组解时的通解.

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20. 设随机变量

X, Y

相互独立, 其概率密度函数分别为

f_{X} (x) = {\begin{array}{cc} 1, & 0 ⩽ x ⩽ 1, \\ 0, & 其他, \end{array} f_{Y} (y) = {\begin{cases} e^{- y}, & y > 0, \\ 0, & y ⩽ 0 . \end{cases}

求随机变量

Z = 2 X + Y

的概率密度函数

f_{z} (z)

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21. 设

A

为

n

阶矩阵，

λ_{1}

和

λ_{2}

是

A

的两个不同的特征值，

x_{1}, x_{2}

是分别属于

λ_{1}

和

λ_{2}

的特征向量. 试证明

x_{1} + x_{2}

不是

A

的特征向量.

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22. 计算定积分

\int_{- 2}^{2} (| x | + x) e^{- | x |} d x

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23. 设函数

z = f (u, x, y), u = x e^{y}

，其中

f

具有二阶连续偏导数，求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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