第十六届大学生数学竞赛初赛试卷(2024年A类)

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第十六届大学生数学竞赛初赛试卷(2024年A类)

一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设双叶双曲面

S : x^{2} + y^{2} - z^{2} = - 2

. 记以

M_{0} (1, 1, - 1)

为顶点且与

S

的上半叶

S^{+} = {(x, y, z) \in S ∣ z \geq \sqrt{2}}

相切的所有切线构成的锥面为

Σ

。
(1) 求锥面

Σ

的方程;
(2) 求

S^{+} \cap Σ

所在平面

π

的方程.

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2. 设

s ⩾ 0

φ (s) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1 + s x^{2})}{x (1 + x^{2})} d x

求

φ (1)

和

φ (2)

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3. 设

A = (\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array})

为实数域

R

上的

3 \times 3

不可逆方阵. 若

A

的伴随矩阵

A^{*}

为

A^{*} = (\begin{array}{lll} a_{11}^{2} & a_{12}^{2} & a_{13}^{2} \\ a_{21}^{2} & a_{22}^{2} & a_{23}^{2} \\ a_{31}^{2} & a_{32}^{2} & a_{33}^{2} \end{array}),

求

A

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4. 熟知实数域

R

上的一元多项式集合

R [x]

在多项式加法和数乘下构成

R

上的一个线性空间. 设

f_{i} (x) \in R [x]

且次数为

n_{i}, 1 \leq i \leq 2024

, 这里规定零多项式的次数为

- \infty

, 已知

\sum_{i = 1}^{2024} n_{i} < 2047276

证明:

f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{2024} (x)

为空间

R [x]

中线性相关的向量组.

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5. 讨论以下级数的收敛性:

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n + (- 1)^{[\sqrt{n}]}}, \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n} + (- 1)^{[\sqrt{n}]}},

其中

[x]

表示

x

的整数部分.

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6. (1) 设

f_{1} (t) = \frac{t + 3}{2}, f_{2} (t) = \frac{t + 6}{3}, {n_{k}}

为取值于

{1, 2}

的整数列。令

F_{1} (t) = f_{n_{1}} (t), F_{k + 1} (t) =

F_{k} (f_{n_{k + 1}} (t)) (k ⩾ 1)

. 证明: 对任何

x \in R

, 极限

lim_{k \to + \infty} F_{k} (x)

存在且与

x

无关.
(2) 若题 (1) 中的

f_{1}, f_{2}

改为

f_{1} (t) = t - \arctan t, f_{2} (t) = 2 \arctan t - t

, 结论如何?

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