解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设双叶双曲面 $S: x^2+y^2-z^2=-2$. 记以 $M_0(1,1,-1)$ 为顶点且与 $S$ 的上半叶$S^{+}=\{(x, y, z) \in S \mid z \geq \sqrt{2}\}$相切的所有切线构成的锥面为 $\Sigma$ 。
(1) 求锥面 $\Sigma$ 的方程;
(2) 求 $S^{+} \cap \Sigma$ 所在平面 $\pi$ 的方程.
设 $s \geqslant 0$, $\varphi(s)=\int_0^{+\infty} \frac{\ln \left(1+s x^2\right)}{x\left(1+x^2\right)} d x$
求 $\varphi(1)$ 和 $\varphi(2)$.
设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
$$
为实数域 $R$ 上的 $3 \times 3$ 不可逆方阵. 若 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 为
$$
A^*=\left(\begin{array}{lll}
a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\
a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\
a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2
\end{array}\right),
$$
求 $A$.
熟知实数域 $R$ 上的一元多项式集合 $R [x]$ 在多项式加法和数乘下构成 $R$ 上的一个线性空间. 设 $f_i(x) \in R [x]$ 且次数为 $n_i, 1 \leq i \leq 2024$, 这里规定零多项式的次数为 $-\infty$, 已知
$$
\sum_{i=1}^{2024} n_i < 2047276
$$
证明: $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_{2024}(x)$ 为空间 $R [x]$ 中线性相关的向量组.
讨论以下级数的收敛性:
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^{[\sqrt{n}]}}, \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{[\sqrt{n}]}},
$$
其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分.
(1) 设 $f_1(t)=\frac{t+3}{2}, f_2(t)=\frac{t+6}{3},\left\{n_k\right\}$为取值于 $\{1,2\}$ 的整数列。令 $F_1(t)=f_{n_1}(t), F_{k+1}(t)=$ $F_k\left(f_{n_{k+1}}(t)\right)(k \geqslant 1)$. 证明: 对任何 $x \in R$, 极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} F_k(x)$存在且与 $x$ 无关.
(2) 若题 (1) 中的 $f_1, f_2$ 改为 $f_1(t)=t-\arctan t, f_2(t)=2 \arctan t-t$, 结论如何?