单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^a \sin \frac{1}{x^b}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$, 其中 $a, b$ 为常数且 $b>0$. 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 则
$\text{A.}$ $a-b>1$.
$\text{B.}$ $0 < a-b \leqslant 1$.
$\text{C.}$ $a-b>2$.
$\text{D.}$ $0 < a-b \leqslant 2$.
有一长度为 5 m 的梯子贴靠在铅直的墙面上. 假设 $t=0$ 时梯子的下端开始沿地面以 $3 m / s$ 匀速离开墙角滑动, 则在何时梯子上端沿墙面下滑的速度也为 $3 m / s$
$\text{A.}$ $t=5 \sqrt{2} s$.
$\text{B.}$ $t=\frac{5}{2} \sqrt{2} s$.
$\text{C.}$ $t=\frac{5}{3} \sqrt{2} s$.
$\text{D.}$ $t=\frac{5}{6} \sqrt{2} s$.
已知偶函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, $F(x)=\int_0^x t f(x-t) d t$, 则
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数.
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数.
$\text{C.}$ $F(x)$ 既非奇函数, 也非偶函数.
$\text{D.}$ $F(x)$ 的奇偶性无法确定.
下列结论中正确的是
$\text{A.}$ 若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant 1$.
$\text{B.}$ 若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1$.
$\text{C.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1$, 则正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} \geqslant 1$, 则正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散.
$f(x)=\left|\begin{array}{llll}x & x & 1 & 0 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 1 & 2 & x\end{array}\right|$ 中的常数项为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 6 .
$\text{C.}$ -5 .
$\text{D.}$ 2 .
设有向量组 $\alpha , \beta , \gamma$ 与常数 $k, l, m$, 满足 $k \alpha +l \beta +m \gamma = 0$, 且 $k m \neq 0$, 则
$\text{A.}$ $\alpha , \beta$ 与 $\alpha , \gamma$ 等价.
$\text{B.}$ $\alpha , \beta$ 与 $\beta , \gamma$ 等价.
$\text{C.}$ $\alpha , \gamma$ 与 $\beta , \gamma$ 等价.
$\text{D.}$ $\alpha$ 与 $\gamma$ 等价.
设 $A$ 是 3 阶矩阵，将 $A$ 的第1 列与第 2 列互换得到 $B$ ，再把 $B$ 的第1行的（-1）倍加到第 3 行得到 $C$, 其中 $C =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$, 则 $A ^{-1}=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$.
设袋子中有 12 个球, 其中有 3 个白球、 5 个黑球和 4 个红球. 现在从袋中一个一个地随机取出所有的球, 则红球比白球出现得早的概率为
$\text{A.}$ $\frac{5}{12}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{7}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{7}$.
设 $X$ 是只有两个可能值的离散型随机变量， $Y$ 是连续型随机变量，且 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则随机变量 $X+Y$ 的分布函数
$\text{A.}$ 是阶梯函数.
$\text{B.}$ 恰好有一个间断点.
$\text{C.}$ 是连续函数.
$\text{D.}$ 恰好有两个间断点.
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 服从正态分布 $N(-1,2)$ 与 $N(1,2)$, 并且 $X$ 与 $Y$ 不相关, $a X+Y$ 与 $X+$ $b Y$ 也不相关，则
$\text{A.}$ $a-b=1$.
$\text{B.}$ $a-b=0$.
$\text{C.}$ $a+b=1$.
$\text{D.}$ $a+b=0$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲面 $x y z=1$ 的平行于平面 $x+y+z=0$ 的切平面方程是
设 $y=x\left(\sin ^6 x+\cos ^6 x\right)$, 则 $y^{(10)}=$
设正向封闭曲线 $C: x^2+y^2=\pi$ 与正向封闭路线 $L:|x|+|y|=\frac{\pi}{4}$, 已知 $\oint_C \frac{x^2 y d y-x y^2 d x}{x^4+y^4}$ $=0$, 则 $\oint_L \frac{x^2 y d y-x y^2 d x}{x^4+y^4}=$
设 $\Omega$ 是由 $x=0, z=0, z=1-y^2$ 和 $x=\sqrt{y}$ 所围成的区域, 则 $I=\iiint_{\Omega} \frac{x z}{(1+y)^2} d V=$
设 4 阶矩阵 $A =\left(a_{i j}\right)$ ，已知 0 是 $A$ 的二重特征值，1是 $A$ 的单特征值，则 $A$ 的特征多项式为 $|\lambda E- A |=$
设总体 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, X_3, X_4$ 为取自 $X$ 的样本, 则 $Y=\frac{1}{3}\left(\frac{X_1}{X_4}+\frac{X_2}{X_4}+\frac{X_3}{X_4}\right)^2$ 服从的分布为
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求由曲线 $y=4-x^2$ 及 $y=0$ 所围成的图形绕直线 $x=3$ 旋转一周所形成旋转体的体积.
已知当 $x>0$ 时，存在函数 $u(x, y)$ ，使得 $d u=\frac{(x-y) d x+(x+y) d y}{\left(x^2+y^2\right)^a}$ ，其中 $\alpha$ 为常数。求 $u(x, y)$.
设 $u_1=1, u_2=2, u_n=u_{n-1}+u_{n-2}(n \geqslant 3)$.
( I ) 证明: $\frac{3}{2} u_{n-1} \leqslant u_n \leqslant 2 u_{n-1}(n \geqslant 3)$ ；
(II) 判别 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{u_n}$ 的敛散性.
$$
\begin{aligned}
&\text { 设 } a < 0 < b, f(x) \text { 在 }[a, b] \text { 上二阶导函数连续. 求证: } \exists \xi \in(a, b) \text {, 使得 }\\
&\int_a^b f(x) d x=b f(b)-a f(a)-\frac{1}{2}\left[b^2 f^{\prime}(b)-a^2 f^{\prime}(a)\right]+\frac{1}{6}\left(b^3-a^3\right) f^{\prime \prime}(\xi) .
\end{aligned}
$$
设3阶矩阵 $A$ 的第 $1,2,3$ 列向量分别为 $\alpha _1=(-2,-1,2)^{ T }, \alpha _2=(-1,1,4)^{ T }, \alpha _3=$ $(15,6,0)^{ T }$ 。求正交矩阵 $T$ 与上三角矩阵 $R$, 使得 $T = A R$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{\alpha \beta}, & 1 \leqslant x \leqslant 1+\alpha, 2 \leqslant y \leqslant 2+\beta, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
$\left(X_1, Y_1\right),\left(X_2, Y_2\right), \cdots,\left(X_n, Y_n\right)$ 是来自总体 $(X, Y)$ 的简单随机样本.
(I) 求证随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立;
(II) 求未知参数 $\alpha, \beta$ 的矩估计量;
(III) 求未知参数 $\alpha, \beta$ 的最大似然估计量.