考研数学名校冲刺版(李永乐武忠祥王式安宋浩周洋鑫硕哥)2022版（数一）

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考研数学名校冲刺版(李永乐武忠祥王式安宋浩周洋鑫硕哥)2022版（数一）

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x) = {\begin{array}{cc} x^{a} \sin \frac{1}{x^{b}}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{array}

, 其中

a, b

为常数且

b > 0

. 若

f (x)

在

x = 0

处二阶可导, 则

A.

a - b > 1

B.

0 < a - b ⩽ 1

C.

a - b > 2

D.

0 < a - b ⩽ 2

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2. 有一长度为 5 m 的梯子贴靠在铅直的墙面上. 假设

t = 0

时梯子的下端开始沿地面以

3 m / s

匀速离开墙角滑动, 则在何时梯子上端沿墙面下滑的速度也为

3 m / s

A.

t = 5 \sqrt{2} s

B.

t = \frac{5}{2} \sqrt{2} s

C.

t = \frac{5}{3} \sqrt{2} s

D.

t = \frac{5}{6} \sqrt{2} s

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3. 已知偶函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上连续,

F (x) = \int_{0}^{x} t f (x - t) d t

, 则

A.

F (x)

是偶函数.

B.

F (x)

是奇函数.

C.

F (x)

既非奇函数, 也非偶函数.

D.

F (x)

的奇偶性无法确定.

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4. 下列结论中正确的是

A.

若正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛, 则

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} ⩽ 1

B.

若正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散, 则

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} ⩾ 1

C.

若

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} < 1

, 则正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

收敛.

D.

若

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} ⩾ 1

, 则正项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

发散.

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f (x) = | \begin{array}{llll} x & x & 1 & 0 \\ 1 & x & 2 & 3 \\ 2 & 3 & x & 2 \\ 1 & 1 & 2 & x \end{array} |

中的常数项为

A.

0 .

B.

6 .

C.

-5 .

D.

2 .

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6. 设有向量组

α, β, γ

与常数

k, l, m

, 满足

k α + l β + m γ = 0

, 且

k m \neq 0

, 则

A.

α, β

与

α, γ

等价.

B.

α, β

与

β, γ

等价.

C.

α, γ

与

β, γ

等价.

D.

α

与

γ

等价.

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7. 设

A

是 3 阶矩阵，将

A

的第1 列与第 2 列互换得到

B

，再把

B

的第1行的（-1）倍加到第 3 行得到

C

, 其中

C = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

, 则

A^{- 1} =

A.

(\begin{array}{ccc} - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

B.

(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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8. 设袋子中有 12 个球, 其中有 3 个白球、 5 个黑球和 4 个红球. 现在从袋中一个一个地随机取出所有的球, 则红球比白球出现得早的概率为

A.

\frac{5}{12}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{3}{7}

D.

\frac{4}{7}

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9. 设

X

是只有两个可能值的离散型随机变量，

Y

是连续型随机变量，且

X

和

Y

相互独立，则随机变量

X + Y

的分布函数

A.

是阶梯函数.

B.

恰好有一个间断点.

C.

是连续函数.

D.

恰好有两个间断点.

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10. 设随机变量

X

与

Y

服从正态分布

N (- 1, 2)

与

N (1, 2)

, 并且

X

与

Y

不相关,

a X + Y

与

X +

b Y

也不相关，则

A.

a - b = 1

B.

a - b = 0

C.

a + b = 1

D.

a + b = 0

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 曲面

x y z = 1

的平行于平面

x + y + z = 0

的切平面方程是

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12. 设

y = x (\sin^{6} x + \cos^{6} x)

, 则

y^{(10)} =

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13. 设正向封闭曲线

C : x^{2} + y^{2} = π

与正向封闭路线

L : | x | + | y | = \frac{π}{4}

, 已知

\oint_{C} \frac{x^{2} y d y - x y^{2} d x}{x^{4} + y^{4}}

= 0

, 则

\oint_{L} \frac{x^{2} y d y - x y^{2} d x}{x^{4} + y^{4}} =

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14. 设

Ω

是由

x = 0, z = 0, z = 1 - y^{2}

和

x = \sqrt{y}

所围成的区域, 则

I = ∭_{Ω} \frac{x z}{(1 + y)^{2}} d V =

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15. 设 4 阶矩阵

A = (a_{i j})

，已知 0 是

A

的二重特征值，1是

A

的单特征值，则

A

的特征多项式为

| λ E - A | =

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16. 设总体

X \sim N (0, σ^{2}), X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}

为取自

X

的样本, 则

Y = \frac{1}{3} {(\frac{X_{1}}{X_{4}} + \frac{X_{2}}{X_{4}} + \frac{X_{3}}{X_{4}})}^{2}

服从的分布为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 求由曲线

y = 4 - x^{2}

及

y = 0

所围成的图形绕直线

x = 3

旋转一周所形成旋转体的体积.

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18. 已知当

x > 0

时，存在函数

u (x, y)

，使得

d u = \frac{(x - y) d x + (x + y) d y}{{(x^{2} + y^{2})}^{a}}

，其中

α

为常数。求

u (x, y)

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19. 设

u_{1} = 1, u_{2} = 2, u_{n} = u_{n - 1} + u_{n - 2} (n ⩾ 3)

.
( I ) 证明:

\frac{3}{2} u_{n - 1} ⩽ u_{n} ⩽ 2 u_{n - 1} (n ⩾ 3)

；
(II) 判别

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{u_{n}}

的敛散性.

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20.

\begin{aligned} 设 a < 0 < b, f (x) 在 [a, b] 上二阶导函数连续. 求证: \exists ξ \in (a, b), 使得 \\ \int_{a}^{b} f (x) d x = b f (b) - a f (a) - \frac{1}{2} [b^{2} f^{'} (b) - a^{2} f^{'} (a)] + \frac{1}{6} (b^{3} - a^{3}) f^{''} (ξ) . \end{aligned}

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21. 设3阶矩阵

A

的第

1, 2, 3

列向量分别为

α_{1} = (- 2, - 1, 2)^{T}, α_{2} = (- 1, 1, 4)^{T}, α_{3} =

(15, 6, 0)^{T}

。求正交矩阵

T

与上三角矩阵

R

, 使得

T = A R

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22. 设二维随机变量

(X, Y)

的联合概率密度为

f (x, y) = {\begin{array}{cc} \frac{1}{α β}, & 1 ⩽ x ⩽ 1 + α, 2 ⩽ y ⩽ 2 + β, \\ 0, & 其他. \end{array}

(X_{1}, Y_{1}), (X_{2}, Y_{2}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

是来自总体

(X, Y)

的简单随机样本.
(I) 求证随机变量

X

与

Y

相互独立;
(II) 求未知参数

α, β

的矩估计量;
(III) 求未知参数

α, β

的最大似然估计量.

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