设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{\alpha \beta}, & 1 \leqslant x \leqslant 1+\alpha, 2 \leqslant y \leqslant 2+\beta, \\
0, & \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
$\left(X_1, Y_1\right),\left(X_2, Y_2\right), \cdots,\left(X_n, Y_n\right)$ 是来自总体 $(X, Y)$ 的简单随机样本.
(I) 求证随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立;
(II) 求未知参数 $\alpha, \beta$ 的矩估计量;
(III) 求未知参数 $\alpha, \beta$ 的最大似然估计量.