周洋鑫硕士研究生入学考试模拟试卷（数一）大题汇编2023版第一和第二套

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周洋鑫硕士研究生入学考试模拟试卷（数一）大题汇编2023版第一和第二套

一、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求曲线

y = \frac{x^{2} \arctan x}{x - 1} - x

的渐近线方程.

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2. 设

V

是由椭球面

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1

的切平面和三个坐标平面所围成的区域的体积，求

V

的最小值.

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3. 设数列

{a_{n}}

满足条件:

a_{0} = 1

, 且

a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n} a_{n - 1}, S (x)

是幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{2 n}

的和函数.
(I) 证明：当

x \in (- 1, 1)

时，

S (x)

满足微分方程

(1 - x^{2}) S^{'} (x) = x S (x)

，并求出

S (x)

；
(II) 设平面闭区域

D

是由曲线

y = S (x) (- \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ \frac{1}{2})

与

x

轴所围成的图形, 求

D

绕

x

轴旋转一周所得旋转体的体积.

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4. 设立体

V

由曲面

Σ : x^{2} + y^{2} = - 2 x (z - 1) (0 ⩽ z ⩽ 1)

与平面

z = 0

所围成.
(I) 求

V

的形心坐标

\bar{x}

;
(II) 求曲面积分

I = \iint_{Σ} \frac{2 x^{2}}{\sqrt{4 x^{4} + {(x^{2} + y^{2})}^{2}}} d S

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5. 设二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x^{⊤} A x = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + a x_{3}^{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2 b x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}

, 其中

A

为二次型所对应矩阵, 若二次型经正交变换

x = P y

所化标准型为

f = y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + 4 y_{3}^{2}

, 则
(I) 求参数

a, b

, 及正交矩阵

P

.
(II) 求一对称矩阵

B

, 使得

A = B^{2}

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6. 设随机变量

X, Y

相互独立, 且分别服从正态分布

N (2 μ, σ^{2}), N (μ, σ^{2})

, 其中

σ > 0

且未知, 记

Z = X - 2 Y

.
(I) 求随机变量

Z

的概率密度函数

f (z, σ^{2})

;
(II) 设

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}

是来自总体

Z

的简单随机样本, 求

σ^{2}

的极大似然估计

{\hat{σ}}^{2}

;
(III) 求

E ({\hat{σ}}^{2}), D ({\hat{σ}}^{2})

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7. 设函数

z = f (x, y)

连续, 且有

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y + 1) - 1 - x - y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0

, 求

lim_{n \to \infty} {[f (0, \cos \frac{1}{n})]}^{n^{2}}

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8. 设

f (x)

具有二阶连续导数,

f (0) = 0, f^{'} (0) = 1

, 且微分方程

[x^{2} y + x y^{2} - f (x) y] d x + [f^{'} (x) + x^{2} y] d y = 0

为全微分方程, 则
(I) 求

f (x)

;
(II) 求该全微分方程的通解。

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9. 已知

f (x) = x \arctan x - \ln \sqrt{1 + x^{2}}

, 求

f (x)

在

x = 0

处展开的幂级数, 并求常数项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} \frac{1}{n (2 n - 1)}

的和.

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10. 已知点

A (1, 0, 0)

与点

B (1, 1, 1), \sum

是由直线

A B

绕

z

轴旋转一周而成的旋转曲面

z = 0

与

z = 1

之间部分的外侧, 函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内具有连续导数, 计算

I = \iint_{Σ} [x f (x y) - 2 x] d y d z + [y^{2} - y f (x y)] d z d x + (z + 1)^{2} d x d y

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11. 已知矩阵

A = [\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 3 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}]

的三个特征向量为

α_{1} = [\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}], α_{2} = [\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], α_{3} = [\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}]

,
(I)求出

A

分别对应

α, α_{2}, α_{3}

的特征值;
(II) 求

A x = 0

方程组的通解;
(III) 求

A^{2023}

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12. 在

(0, 1)

内随机取两点, 且两点之间的距离为

X

, 求
(I) 求随机变量

X

的概率密度函数;
(II) 求

E (e^{- x})

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