解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲线 $y=\frac{x^2 \arctan x}{x-1}-x$ 的渐近线方程.
设 $V$ 是由椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 的切平面和三个坐标平面所围成的区域的体积，求 $V$ 的最小值.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件: $a_0=1$, 且 $a_n=\frac{2 n-1}{2 n} a_{n-1}, S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2 n}$ 的和函数.
(I) 证明：当 $x \in(-1,1)$ 时， $S(x)$ 满足微分方程 $\left(1-x^2\right) S^{\prime}(x)=x S(x)$ ，并求出 $S(x)$ ；
(II) 设平面闭区域 $D$ 是由曲线 $y=S(x)\left(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形, 求 $D$绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
设立体 $V$ 由曲面 $\Sigma: x^2+y^2=-2 x(z-1)(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 与平面 $z=0$ 所围成.
(I) 求 $V$ 的形心坐标 $\bar{x}$;
(II) 求曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} \frac{2 x^2}{\sqrt{4 x^4+\left(x^2+y^2\right)^2}} d S$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)= x ^{\top} A x =2 x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 x_2 x_3$, 其中 $A$ 为二次型所对应矩阵, 若二次型经正交变换 $x = P y$ 所化标准型为 $f=y_1{ }^2+y_2{ }^2+4 y_3{ }^2$, 则
(I) 求参数 $a, b$, 及正交矩阵 $P$.
(II) 求一对称矩阵 $B$, 使得 $A = B ^2$.
设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且分别服从正态分布 $N\left(2 \mu, \sigma^2\right), N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma>0$ 且未知, 记 $Z=X-2 Y$.
(I) 求随机变量 $Z$ 的概率密度函数 $f\left(z, \sigma^2\right)$;
(II) 设 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 是来自总体 $Z$ 的简单随机样本, 求 $\sigma^2$ 的极大似然估计 $\hat{\sigma}^2$;
(III) 求 $E\left(\hat{\sigma}^2\right), D\left(\hat{\sigma}^2\right)$.
设函数 $z=f(x, y)$ 连续, 且有 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y+1)-1-x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(0, \cos \frac{1}{n}\right)\right]^{n^2}$.
设 $f(x)$ 具有二阶连续导数, $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 且微分方程
$$
\left[x^2 y+x y^2-f(x) y\right] d x+\left[f^{\prime}(x)+x^2 y\right] d y=0
$$
为全微分方程, 则
(I) 求 $f(x)$;
(II) 求该全微分方程的通解。
已知 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^2}$, 求 $f(x)$ 在 $x=0$ 处展开的幂级数, 并求常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n(2 n-1)}$ 的和.
已知点 $A(1,0,0)$ 与点 $B(1,1,1), \sum$ 是由直线 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的旋转曲面 $z=0$与 $z=1$ 之间部分的外侧, 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有连续导数, 计算
$$
I=\iint_{\Sigma}[x f(x y)-2 x] d y d z+\left[y^2-y f(x y)\right] d z d x+(z+1)^2 d x d y
$$
已知矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]$ 的三个特征向量为 $\alpha _1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right], \alpha _2=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha _3=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right]$,
(I)求出 $A$ 分别对应 $\alpha , \alpha _2, \alpha _3$ 的特征值;
(II) 求 $A x=0$ 方程组的通解;
(III) 求 $A ^{2023}$.
在 $(0,1)$ 内随机取两点, 且两点之间的距离为 $X$, 求
(I) 求随机变量 $X$ 的概率密度函数;
(II) 求 $E\left(e^{-x}\right)$.