设随机变量 $X, Y$ 相互独立, 且分别服从正态分布 $N\left(2 \mu, \sigma^2\right), N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma>0$ 且未知, 记 $Z=X-2 Y$.
(I) 求随机变量 $Z$ 的概率密度函数 $f\left(z, \sigma^2\right)$;
(II) 设 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 是来自总体 $Z$ 的简单随机样本, 求 $\sigma^2$ 的极大似然估计 $\hat{\sigma}^2$;
(III) 求 $E\left(\hat{\sigma}^2\right), D\left(\hat{\sigma}^2\right)$.