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题号:19490 题型:解答题 来源:周洋鑫硕士研究生入学考试模拟试卷（数一）大题汇编2023版第一和第二套
设数列
{
a
n
}
满足条件:
a
0
=
1
, 且
a
n
=
2
n
−
1
2
n
a
n
−
1
,
S
(
x
)
是幂级数
∑
n
=
0
∞
a
n
x
2
n
的和函数.
(I) 证明：当
x
∈
(
−
1
,
1
)
时，
S
(
x
)
满足微分方程
(
1
−
x
2
)
S
′
(
x
)
=
x
S
(
x
)
，并求出
S
(
x
)
；
(II) 设平面闭区域
D
是由曲线
y
=
S
(
x
)
(
−
1
2
⩽
x
⩽
1
2
)
与
x
轴所围成的图形, 求
D
绕
x
轴旋转一周所得旋转体的体积.
A.
B.
C.
D.
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