设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足条件: $a_0=1$, 且 $a_n=\frac{2 n-1}{2 n} a_{n-1}, S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2 n}$ 的和函数.
(I) 证明：当 $x \in(-1,1)$ 时， $S(x)$ 满足微分方程 $\left(1-x^2\right) S^{\prime}(x)=x S(x)$ ，并求出 $S(x)$ ；
(II) 设平面闭区域 $D$ 是由曲线 $y=S(x)\left(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right)$ 与 $x$ 轴所围成的图形, 求 $D$绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.