单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 5 , 前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_1 、 a_2 、 a_5$ 成等比数列, 则 $S_6=(\quad)$
$\text{A.}$ 80
$\text{B.}$ 85
$\text{C.}$ 90
$\text{D.}$ 95
公差不为 0 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $S_n=n^2 a_1$, 若 $a_1, a_2, a_{k_1}, a_{k_2}, a_{k_3}$ 依次成等比数列, 则 $k_3=$
$\text{A.}$ 81
$\text{B.}$ 63
$\text{C.}$ 41
$\text{D.}$ 32
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且公差不为 0 , 若 $a_4, a_5, a_7$ 构成等比数列, $S_{11}=66$, 则 $a_7=(\quad)$
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 7
$\text{D.}$ 8
已知函数 $f(x)=n x+\ln x\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ 的图象在点 $\left(\frac{1}{n}, f\left(\frac{1}{n}\right)\right)$ 处的切线的斜率为 $a_n$,则数列 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{n+1}$
$\text{B.}$ $\frac{3 n^2+5 n}{2(n+1)(n+2)}$
$\text{C.}$ $\frac{n}{4(n+1)}$
$\text{D.}$ $\frac{3 n^2+5 n}{8(n+1)(n+2)}$
"中国剩余定理" 又称 "孙子定理", 原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以 3 余 2）, 五五数之剩三 (除以 5 余 3 ), 七七数之剩二 (除以 7 余 2 ), 问物几何? 现有这样一个相关的问题: 已知正整数 $m$满足五五数之剩三, 将符合条件的所有正整数 $m$ 按照从小到大的顺序排成一列, 构成数列 $\left\{a_n\right\}$, 记数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$ 项和为 $S_n$, 则 $\frac{2 S_n+80}{n}$ 的最小值为 ( ）
$\text{A.}$ 46
$\text{B.}$ 42
$\text{C.}$ 41
$\text{D.}$ 25
记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, S_5=\frac{9}{8}$ ，数列 $\left\{2^n S_n\right\}$ 是公差为 7 的等差数列，则 $\left\{a_n\right\}$ 的最小项为 ( )
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $-\frac{15}{16}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ $\frac{1}{4}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且满足 $a_1=1, a_n a_{n+1}=2 S_n$, 设 $b_n=\frac{a_n}{3^n}$, 若存在正整数 $p, q(p < q)$,使得 $b_1, b_p, b_q$ 成等差数列, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $p=1$
$\text{B.}$ $p=2$
$\text{C.}$ $p=3$
$\text{D.}$ $p=4$
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, b_n=\frac{S_n}{n}$, 则称数列 $\left\{b_n\right\}$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的 "均值数列". 已知数列 $\left\{b_n\right\}$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的 "均值数列" 且通项公式为 $b_n=n$, 设数列 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$, 若 $T_n < \frac{1}{2} m^2-m-1$ 对一切 $n \in \mathbf{N}^*$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）
$\text{A.}$ $(-1,3)$
$\text{B.}$ $[-1,3]$
$\text{C.}$ $(-\infty,-1) \mathrm{U}(3,+\infty)$
$\text{D.}$ $(-\infty,-1] \mathrm{U}[3,+\infty)$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知数列 $\{a n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_n=\left\{\begin{array}{l}2 n-13,1 \leq n \leq 6 \\ (-3)^{n-7}-1, n>6\end{array}\right.$, 若 $S_k=-32$, 则 $k$ 可能为 (）
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 9
$\text{D.}$ 12
对于给定数列 $\left\{c_n\right\}$ ，如果存在实数 $t, m$ ，对于任意的 $n \in \mathrm{~N}^*$ 均有 $c_{n+1}=t c_n+m$ 成立，那么我们称数列 $\left\{c_n\right\}$ 为 " $M$ 数列"，则下列说法正确的是（）
$\text{A.}$ 数列 $\{2 n+1\}$ 是 " $M$ 数列"
$\text{B.}$ 数列 $\left\{2^n+1\right\}$ 不是 " $M$ 数列"
$\text{C.}$ 若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 " $M$ 数列"，则数列 $\left\{a_n+a_{n+1}\right\}$ 是 " $M$ 数列"
$\text{D.}$ 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=1, b_n+b_{n+1}=2 p \times 3^n$, 则数列 $\left\{b_n\right\}$ 是 " $M$ 数列"
已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为整数, $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $a_1+a_4=9, a_2+a_3=6$, 则 ( )
$\text{A.}$ $a_1=2$
$\text{B.}$ $S_n=2^n-1$
$\text{C.}$ 数列 $\left\{\mathrm{e}^{a_n}\right\}$ 是公比为 $\mathrm{e}^2$ 的等比数列
$\text{D.}$ 数列 $\left\{\lg a_n\right\}$ 是公差为 $\lg 2$ 的等差数列
期中联考分形几何学是数学家伯努瓦-曼德尔布罗在 20 世纪 70 年代创立的一门新的数学学科, 分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义. 按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图:
记图乙中第 $n$ 行白圈的个数为 $a_n$, 黑圈的个数为 $b_n$, 则下列结论中正确的是
$\text{A.}$ $a_1+a_2+a_3=9$
$\text{B.}$ $b_{n+1}=2 b_n+a_n$
$\text{C.}$ 当 $k= \pm 1$ 时, $\left\{a_n+k b_n\right\}$ 均为等比数列
$\text{D.}$ $b_1+b_2+\mathrm{L}+b_5=58$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 3 项和 $S_3=12, a_1-1, a_2-1, a_3+3$ 成等比数列, 则数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差 $d=$
我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知 9 枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为 9 的数列 $\left\{a_n\right\}$ ，该数列的前 3 项成等差数列，后 7 项成等比数列, 且 $a_1=1, a_5=12, a_9=192$, 则 $a_7=$ $\qquad$ ；数列 $\left\{a_n\right\}$ 所有项的和为
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=a, a_{n+1}=\left\{\begin{array}{l}a_n+2, n=2 k-1 \\ \frac{1}{2} a_n, n=2 k\end{array}\left(k \in \mathrm{~N}^*\right)\right.$, 当 $a=1$ 时, $a_{10}=$ $\qquad$ ；若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的所有项仅取有限个不同的值, 则满足题意的所有实数 $a$ 的值为
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项即为 $S_n$, 且 $a_n=\frac{n+1}{2^n}$, 若对任意 $x \in \mathrm{~N}^*$, 都有 $0 < t S_n < 5$, 则 $t$ 的取值范围是