已知函数 $f(x)=n x+\ln x\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ 的图象在点 $\left(\frac{1}{n}, f\left(\frac{1}{n}\right)\right)$ 处的切线的斜率为 $a_n$,则数列 $\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 为 $(\quad)$
A. $\frac{1}{n+1}$
B. $\frac{3 n^2+5 n}{2(n+1)(n+2)}$
C. $\frac{n}{4(n+1)}$
D. $\frac{3 n^2+5 n}{8(n+1)(n+2)}$