已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为整数, $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $a_1+a_4=9, a_2+a_3=6$, 则 ( )
A. $a_1=2$
B. $S_n=2^n-1$
C. 数列 $\left\{\mathrm{e}^{a_n}\right\}$ 是公比为 $\mathrm{e}^2$ 的等比数列
D. 数列 $\left\{\lg a_n\right\}$ 是公差为 $\lg 2$ 的等差数列