【20225】 【 线性代数（二次型）专项训练】 填空题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 经正交变换 $x = P y$ 可化成标准形 $f=6 y_1^2$, 则 $a=$

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【20224】 【 线性代数（二次型）专项训练】 解答题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-5 x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 利用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

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【20223】 【 线性代数（二次型）专项训练】 填空题 已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+a x_3^2+4 x_1 x_2-6 x_1 x_3-2 x_2 x_3$ 的秩为 2 , 求 $a$.

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【20222】 【 概率论与数理统计（假设检验）解答题】 解答题 设总体 $X$ 的概率密度为 $$ f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\theta}{x^2}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & x<\theta, \end{array}\right. $$ 其中 $\theta>0$ 为未知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $X_{(1)}=\min \left\{X_1, X_2, \cdots, X_n\right\}$. (1) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$, 并求常数 $a$, 使得 $a \hat{\theta}$ 为 $\theta$ 的无偏估计; (2) 对于原假设 $H_0: \theta=2$ 与备择假设 $H_1: \theta>2$, 若 $H_0$ 的拒绝域为 $W=\left\{X_{(1)} \geqslant 3\right\}$, 求犯第一类错误的概率 $\alpha$.

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【20221】 【 概率论与数理统计（假设检验）解答题】 单选题 设 $X_1, X_2, \cdots, X_{16}$ 是来自总体 $N(\mu, 4)$ 的简单随机样本, 考虑假设检验问题: $H_0: \mu \leqslant 10$, $H_1: \mu>10 . \Phi(x)$ 表示标准正态分布函数。若该检验问题的拒绝域为 $W=\{\bar{X}>11\}$, 其中 $\bar{X}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} X_i$, 则 $\mu=11.5$ 时，该检验犯第二类错误的概率为

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【20220】 【 概率论与数理统计（假设检验）解答题】 单选题 对正态总体的数学期望 $\mu$ 进行假设检验, 如果在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0: \mu=\mu_0$, $H_1: \mu>\mu_0$, 那么在显著性水平 $\alpha=0.01$ 下（ ）。

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【20219】 【 概率论与数理统计（假设检验）解答题】 填空题 设 $X_1, X_2, \cdots, X_{16}$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, 2^2\right)$ 的样本, 样本均值为 $\bar{X}$, 则在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下检验假设 $H_0: \mu=5, H_1: \mu \neq 5$ 的拒绝域为 $\qquad$ . $(\Phi(1.96)=0.975, \Phi(1.65)=0.95)$

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【20218】 【 概率论与数理统计（参数估计）专项训练】 填空题 设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 均为未知参数. 从总体 $X$ 中抽取容量为 10 的样本, 样本值如下: $$ 86.0,85.5,85.4,85.5,85.6,85.9,85.7,85.8,85.7,85.9, $$ 则标准差 $\sigma$ 的置信水平为 0.98 的置信区间是 $\qquad$ ( $\chi_{0.01}^2(9)=21.67, \quad \chi_{0.01}^2(10)=23.21, \quad \chi_{0.99}^2(9)=2.09$, $\chi_{0.99}^2(10)=2.56$ )

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【20217】 【 概率论与数理统计（参数估计）专项训练】 单选题 设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma^2$ 已知, $n$ 是给定的样本容量, $\mu$ 为未知参数,则 $\mu$ 的等尾双侧置信区间长度 $L$ 与置信度 $1-\alpha$ 的关系是

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【20216】 【 概率论与数理统计（参数估计）专项训练】 填空题 已知某机器生产出的零件长度 $X$ (单位: cm ) 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 现从中随意抽取容量为 16 的一个样本, 测得样本均值 $\bar{x}=10$, 样本方差 $s^2=0.16$, 则总体均值 $\mu$ 置信水平为 0.95 的置信区间为 $\qquad$ $\left(t_{0.025}(15)=2.132\right)$

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