【34859】 【 高等数学《函数的基本概念》基础训练】 单选题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于

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【34858】 【 高等数学《函数的基本概念》基础训练】 解答题 求函数 $f(x)=\frac{|x|}{x}, g(x)=\frac{1-a^{\frac{1}{x}}}{1+a^{\frac{1}{x}}}(a>1)$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时的左、右极限，并说明 $x \rightarrow 0$ 时极限是否存在．

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【34857】 【 高等数学《函数的基本概念》基础训练】 证明题 利用极限定义证明下列极限： （1） $\lim _{x \rightarrow 2}(5 x+2)=12$ ， （2） $\lim _{x \rightarrow a} \sqrt{x}=\sqrt{a}(a>0)$ ．

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【34856】 【 高等数学《函数的基本概念》基础训练】 证明题 证明：数列 $x_n=(-1)^n \cdot \frac{n+1}{n}$ 是发散的．

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【34855】 【 高等数学《函数的基本概念》基础训练】 证明题 设 $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right) \sin \frac{n \pi}{2}$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 没有极限．

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【34854】 【 高等数学《函数的基本概念》基础训练】 填空题 函数 $y=\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}$ 的反函数为

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【34853】 【 高等数学《函数的基本概念》基础训练】 填空题 已知 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$ ，求函数 $\varphi(x)$ 的定义域．

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【34852】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 证明题 设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 既是正交矩阵又是正定矩阵，证明： $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。

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【34851】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 证明题 设 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 是 $n$ 元实二次型，存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2$ ，使 $\boldsymbol{x}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_1>0$ ， $\boldsymbol{x}_2^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_2<0$ ．证明：存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_0 \neq \mathbf{0}$ ，使 $\boldsymbol{x}_0^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_0=0$ ．

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【34850】 【 上海交通大学《线性代数》期末考试试卷与答案】 解答题 设向量组 $$ \begin{aligned} & \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] ; \\ & \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{l} a \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] . \end{aligned} $$ （1）问：$a$ 取何值时，向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 是向量空间 ${ }^3$ 的基，为什么？ （2）求 $2^3$ 中基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵。

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