设 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 是 $n$ 元实二次型，存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2$ ，使 $\boldsymbol{x}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_1>0$ ， $\boldsymbol{x}_2^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_2 < 0$ ．证明：存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_0 \neq \mathbf{0}$ ，使 $\boldsymbol{x}_0^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_0=0$ ．