单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s(s \geqslant 2)$ 线性无关，向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 能线性表示向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ ，则以下结论中不能成立的是（ ）。
$\text{A.}$ 向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性无关；
$\text{B.}$ 对任一个 $\boldsymbol{\alpha}_j(0 \leqslant j \leqslant s)$ ，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_j, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性相关；
$\text{C.}$ 存在一个 $\boldsymbol{\alpha}_j(0 \leqslant j \leqslant s)$ ，使得向量组 $\boldsymbol{\alpha}_j, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性无关；
$\text{D.}$ 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 与向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 等价。
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{C}$ 的伴随矩阵 $\boldsymbol{C}^*=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}^* & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{B}^*\end{array}\right]$ ；
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}|^{-1} \boldsymbol{A}^* & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & |\boldsymbol{A}|^{-1} \boldsymbol{B}^*\end{array}\right] ;$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{B}| \boldsymbol{A}^* & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & |\boldsymbol{A}| \boldsymbol{B}^*\end{array}\right]$ ；
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{cc}|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^* & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & |\boldsymbol{B}| \boldsymbol{B}^*\end{array}\right]$ ．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是三维线性空间 $V$ 的基，则（ ）也是 $V$ 的基．
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=2 \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3 ;$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1-2 \boldsymbol{\alpha}_2$ ；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+2 \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+3 \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 实矩阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=n$ ，则（ ）．
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必合同于 $n$ 阶单位矩阵；
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 必等价于 $m$ 阶单位矩阵；
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必相似于 $n$ 阶单位矩阵；
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 是 $m$ 阶单位矩阵。
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=m, \boldsymbol{b} \neq 0$ ，则线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=b$（ ）。
$\text{A.}$ 可能无解；
$\text{B.}$ 一定无解；
$\text{C.}$ 可能有解；
$\text{D.}$ 一定有解．
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示，则（）．
$\text{A.}$ 当 $s>t$ 时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 必线性相关；
$\text{B.}$ 当 $s>t$ 时，向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 必线性相关；
$\text{C.}$ 当 $s < t$ 时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 必线性相关；
$\text{D.}$ 当 $s < t$ 时，向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 必线性相关．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为三阶方阵，行列式 $|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=-1$ ，矩阵 $\boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{0} & 2 \boldsymbol{A} \\ -\boldsymbol{B} & \mathbf{0}\end{array}\right]$ ，则行列式 $|\boldsymbol{C}|=$ $\_\_\_\_$。
已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，$\lambda= \pm 1$ 不是 $\boldsymbol{B}$ 的特征值，且 $\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$。
若实二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+x_2^2+x_3^2+2 x_1 x_2+a x_2 x_3$ 是正定二次型，则常数 $a$ 的取值范围为
若三阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $1,1,2$ ，则行列式 $\left|\boldsymbol{A}^{-1}+2 \boldsymbol{A}^*\right|=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶方阵， $\mathrm{r}(\boldsymbol{A})=2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 是线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}(\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0})$ 的解，已知
$$
\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right],
$$
则线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解 $\boldsymbol{\alpha}=$
已知 $b$ 为一常数，设集合
$$
V=\left\{\boldsymbol{\alpha} \left\lvert\, \boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
a_1+a_2+b
\end{array}\right]\right., a_1, a_2, b \in \mathbb{R}\right\},
$$
若 $V$ 是向量空间 $\mathbb{R}^3$ 的子空间，则 $b=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 2 \\
0 & 2 & 2 \\
1 & 0 & 3
\end{array}\right],
$$
已知多项式 $g(x)=x^3-2 x^2-1$ ，求行列式 $|g(\boldsymbol{A})|$ ．
已知线性方程组
$$
\begin{cases}x_1+x_2 & =1, \\ x_1-x_3 & =1, \\ x_1+a x_2+x_3 & =b .\end{cases}
$$
（1）试问常数 $a, b$ 取何值时，方程组有无穷多解、有唯一解、无解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．
设矩阵
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right] .
$$
（1）若矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A B}$ ，试求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ；
（2）若列向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 满足 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\omega} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，试求 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}$ ．
求正交变换 $x=Q y$ ，将二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=3 x_1^2+3 x_2^2-4 x_1 x_2+x_3^2
$$
化为标准形。
设三维列向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求三维列向量 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ ，使 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 为正交向量组；
（2）证明： $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 是 $z^3$ 的基，并求向量 $\boldsymbol{\eta}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 下的坐标．
设向量组
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\alpha}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_2=\left[\begin{array}{r}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}_3=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right] ; \\
& \boldsymbol{\beta}_1=\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_2=\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
0
\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}_3=\left[\begin{array}{l}
a \\
0 \\
1
\end{array}\right] .
\end{aligned}
$$
（1）问：$a$ 取何值时，向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 是向量空间 ${ }^3$ 的基，为什么？
（2）求 $2^3$ 中基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵。
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 是 $n$ 元实二次型，存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2$ ，使 $\boldsymbol{x}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_1>0$ ， $\boldsymbol{x}_2^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_2 < 0$ ．证明：存在 $n$ 维实列向量 $\boldsymbol{x}_0 \neq \mathbf{0}$ ，使 $\boldsymbol{x}_0^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_0=0$ ．
设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 既是正交矩阵又是正定矩阵，证明： $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。