一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设曲线积分 $\int_{L}\left[f(x)-e^{x}\right] \sin y d x-f(x) \cos y d y$ 与路径无关, 其中 $f(x)$ 具有一阶连续导数, 且 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}-1$
$\text{D.}$ $1-\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令
$$
\begin{aligned}
S_1 & =\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a) \\
S_3 & =\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，令
$$
\begin{aligned}
& S_1=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a), \\
& S_3=\frac{1}{2}[f(a)+f(b)](b-a)
\end{aligned}
$$
则
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
由曲线 $y=\ln x$ 与两直线 $y=(\mathrm{e}+1)-x$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形的面积是
设 $L$ 为取正向的圆周 $x^{2}+y^{2}=9$, 则曲线积分 $\oint_{L}(2 x y-2 y) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-4 x\right) \mathrm{d} y$ 的值是
由曲线 $y=x e^x$ 与直线 $y=e x$ 所围成的图形的面积 $S=$
由曲线 $y=x+\frac{1}{x}, x=2$ 及 $y=2$ 所围图形的面积 $S=$
设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与半球面$z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$ 围成的空间区域， $\Sigma$ 是 $\Omega$ 的整个边界的外侧，则
$$
\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=
$$
设 $\Sigma$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}(0 \leq z \leq 1)$ 的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设曲面 $\Sigma:|x|+|y|+|z|=1$ ，则
$$
\oint_{\Sigma}(x+|y|) \mathrm{d} S=
$$
三、解答题 （ 共 30 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\Sigma$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1}, \\ x=0,\end{array}(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面, 它的法向量与 $y$ 轴正向的 夹角恒大于 $\frac{\pi}{2}$.
设 $\Sigma$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧, 计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续, 且在 $(a, b)$ 内有 $f^{\prime}(x)>0$.
证明: 在 $(a, b)$ 内存在唯一的 $\xi$, 使曲 线 $y=f(x)$ 与两直线 $y=f(\xi), x=a$ 所围平面图形面积 $S_{1}$ 是曲线 $y=f(x)$ 与两直线 $y=f(\xi)$, $x=b$ 所围平面图形面积 $S_{2}$ 的 3 倍.
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{3}+a z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+a x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+a y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=$ $\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧.
计算曲面积分 $\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, 其中 $S$ 是由曲面 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 及两平面 $z=R, z=-R(R>0)$ 所 围成立体表面的外侧.
计算曲面积分 $\iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $S$ 为有向曲面 $z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$, 其法向量与 $z$ 轴正向的夹角为锐角.
计算曲线 $y=\ln \left(1-x^2\right)$ 上相应于 $0 \leq x \leq \frac{1}{2}$ 的一段弧的长度.
求曲线 $y=\sqrt{x}$ 的一条切线 $l$ ，使该曲线与切线 $l$ 及直线 $x=0, x=2$ 所围成的平面图形面积最小.
设:
(1) 函数 $y=f(x)(0 \leq x < \infty)$ 满足条件 $f(0)=0$和 $0 \leq f(x) \leq e^x-1$ ；
(2) 平行于 $y$ 轴的动直线 $M N$ 与曲线 $y=f(x)$ 和 $y=e^x-1$ 分别交于点 $P_1$ 和 $P_2$ ；
(3) 曲线 $y=f(x)$ 、直线 $M N$ 与 $x$ 轴所围封闭图形的面积 $S$ 恒等于线段 $P_1 P_2$ 的长度. 求函数 $y=f(x)$ 的表达式.
如图，设曲线方程为 $y=x^2+\frac{1}{2}$ ，梯形 $O A B C$ 的面积为 $D$ ，曲边梯形 $O A B C$ 的面积为 $D_1$ ，点 $A$ 的坐标为 $(a, 0), a>0$ ，证明: $\frac{D}{D_1} < \frac{3}{2}$.
计算曲线积分 $\oint_C(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $C$ 是曲线 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，
从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看， $C$ 的方向是顺时针的.
设直线 $y=a x$ 与拋物线 $y=x^2$ 所围成图形的面积为 $S_1$ ，它们与直线 $x=1$ 所围成的图形面积为 $S_2$ ，且 $a < 1$.
(1) 试确定 $a$ 的值，使 $S_1+S_2$ 达到最小，并求出最小值；
(2) 求该最小值所对应的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积.
设对于半空间 $x>0$ 内任意的光滑有向封闭曲面 $S$ ，都有
$$
\oint_S x f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-x y f(x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-e^{2 x} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
其中函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内具有连续的一阶导数，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1$ ，求 $f(x)$.
设有一半径为 $R$ 的球体， $P_0$ 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 $P_0$ 距离的平方成正比 (比例常数 $k>0$ )，求球体的重心位置.
设曲线 $y=a x^2(a>0, x \geq 0)$ 与 $y=1-x^2$ 交于点 $A$ ，过坐标原点 $O$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=a x^2$ 围成一平面图形，问 $a$ 为何值时，该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积最大?
计算曲线积分
$$
I=\oint_L\left(y^2-z^2\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^2-x^2\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^2-y^2\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是平面 $x+y+z=2$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线，从 $Z$ 轴正向看去， $L$ 为逆时针方向.
设有一高度为 $h(t)$ ( $t$ 为时间)的雪堆在融化过程，其侧面满足方程 $z=h(t)-\frac{2\left(x^2+y^2\right)}{h(t)}$. 设长度单位为厘米，时间单位为小时. 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9 )，问高度为 130 (厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
求微分方程 $x \mathrm{~d} y+(x-2 y) \mathrm{d} x=0$ 的一个解 $y=y(x)$ ，使得由曲线 $y=y(x)$ 与直线 $x=1, x=2$ 以及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周的旋转体体积最小.
设 $D_1$ 是由抛物线 $y=2 x^2$ 和直线 $x=a \cdot x=2$ 及 $y=0$所围成的平面区域； $D_2$ 是由抛物线 $y=2 x^2$ 和直线 $y=0, x=a$ 所围成的平面区域，其中 $0 < a < 2$.
(1) 试求 $D_1$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_1 ; D_2$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_2$;
(2) 问当 $a$ 为何值时， $V_1+V_2$ 取得最大值? 试求此最大值.
已知平面区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \pi\}$ ， $L$ 为 $D$ 的正向边界. 试证:
(1) $\oint_L x e^{\sin y} \mathrm{~d} y-y e^{-\sin x} \mathrm{~d} x=\oint_L x e^{-\sin y} \mathrm{~d} y-y e^{\sin x} \mathrm{~d} x$
(2) $\oint_L x e^{\sin y} \mathrm{~d} y-y e^{-\sin x} \mathrm{~d} x \geq 2 \pi^2$.
设曲线的极坐标方程为 $\rho=e^{a \theta}(a>0)$ ，则该曲线上相应于 $\theta$ 从 0 变到 $2 \pi$ 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为
曲线 $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 与直线 $x=0, x=t(t>0)$ 及 $y=0$围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周得一旋转体，其体积为 $V(t)$ ，侧面积为 $S(t)$ ，在 $x=t$ 处的底面积为 $F(t)$.
(1) 求 $\frac{S(t)}{V(t)}$ 的值；
(2) 计算极限 $\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{S(t)}{F(t)}$.
求 $\iint_D\left(\sqrt{x^2+y^2}+y\right) \mathrm{d} \sigma$, 其中 $D$ 是由圆 $x^2+y^2=4$和 $(x+1)^2+y^2=1$ 所围成的平面区域.
设函数 $\varphi(y)$ 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 $L$ 上，曲线积分 $\oint_L \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^2+y^4}$ 的值恒为同一常数.
(1) 证明: 对右半平面 $x>0$ 内的任意分段光滑简单闭曲线 $C$ ，有 $\oint_C \frac{\varphi(y) \mathrm{d} x+2 x y \mathrm{~d} y}{2 x^2+y^4}=0$ ；
（2）求函数 $\varphi(y)$ 的表达式.
设在上半平面 $D=\{(x, y) \mid y>0\}$ 内，数 $f(x, y)$ 是有连续偏导数，且对任意的 $t>0$ 都有 $f(t x, t y)=t^{-2} f(x, y)$.
证明：对 $D$ 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线 $L$ ，都有
$$
\oint_L y f(x, y) \mathrm{d} x-x f(x, y) \mathrm{d} y=0
$$
设 $D$ 是位于曲线
$$
y=\sqrt{x} a^{-\frac{x}{2 a}}(a>1,0 \leq x < +\infty)
$$
下方、 $x$ 轴上方的无界区域.
(1) 求区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积 $V(a)$ ；
(2) 当 $a$ 为何值时， $V(a)$ 最小?并求此最小值.
设 $f(x)$ 是区间 $[0,+\infty)$ 上具有连续导数的单调增加函数，且 $f(0)=1$. 对任意的 $t \in[0,+\infty)$ ，直线 $x=0, x=t$ ，曲线 $y=f(x)$ 以及 $x$ 轴所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍，求函数 $f(x)$ 的表达式.
椭球面 $S_1$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 绕 $x$ 轴旋转而成，圆锥面 $S_2$ 是由过点 $(4,0)$ 且与椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 相切的直线绕 $x$ 轴旋转而成.
(1) 求 $S_1$ 及 $S_2$ 的方程;
(2) 求 $S_1$ 与 $S_2$ 之间的立体体积.
计算曲面积分 $I=\oint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^2+2 y^2+z^2=4$ 的外侧.
设曲线 $y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(x)>0$.已知曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=0, x=1$ 及 $x=t(t>1)$ 所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 $\pi t$ 倍，求该曲线的方程.